Пример вычисления интерграла по формуле симпсона

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Программа приближенного вычисления определенного интеграла с помощью ф – лы Симпсона на компьютере»

Выполнил:

студент ф – та ЭОУС – 1 – 12

Валюгин А. С.

Принял:

Зоткин С. П.

Москва 2001

1. Введение

Определенный интеграл от функции, имеющей неэлементарную первообразную, можно вычислить с помощью той или иной приближенной формулы. Для решения этой задачи на компьютере, среди прочих, можно воспользоваться формулами прямоугольников, трапеций или формулой Симпсона. В данной работе рассматривается именно последняя.

Рассмотрим функцию y = f(x). Будем считать, что на отрезке [a, b] она положительна и непрерывна. Найдем площадь криволинейной трапеции aABb (рис. 1).

рис. 1

Для этого разделим отрезок [a, b] точкой c = (a + b) / 2 пополам и в точке C(c, f(c)) проведем касательную к линии y = f(x). После этого разделим [a, b] точками p и q на 3 равные части и проведем через них прямые x = p и x = q. Пусть P и Q – точки пересечения этих прямых с касательной. Соединив A с P и B с Q, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Тогда площадь трапеции aABb можно приближенно посчитать по следующей формуле

I » (aA + pP) / 2 * h + (pP + qQ) / 2 * h + (qQ + bB) / 2 * h, где h = (b – a) / 3.

Откуда получаем

I » (b – a) / 6 * (aA + 2 * (pP + qQ) + bB)

заметим, что aA = f(a), bB = f(b), а pP + qQ = 2 * f(c), в итоге получаем малую фор – лу Симпсона

Малая формула Симпсона дает интеграл с хорошей точностью, когда график подинтегральной функции мало изогнут, в случаях же, когда дана более сложная функция малая формула Симпсона непригодна. Тогда, чтобы посчитать интеграл заданной функции нужно разбить отрезок [a, b] на n частей и к каждому из отрезков применить формулу (1). После указанных выше действий получится “большая” формула Симпсона, которая имеет вид,

где Yкр = y1 + yn, Yнеч = y3 + y5 + … + yn – 1, Yчет = y2 + y4 + … + yn – 2, а h = (b – a) / n.

Задача. Пусть нужно проинтегрировать функцию f(x) = x?(x - 5)? на отрезке [0, 6] (рис. 2). На этом отрезке функция непрерывна и принимает только неотрицательные значения, т. е. знакопостоянна.

рис. 2

Для выполнения поставленной задачи составлена нижеописанная программа, приближенно вычисляющая определенный интеграл с помощью формулы Симпсона. Программа состоит из трех функций main, f и integral. Функция main вызывает функцию integral для вычисления интеграла и распечатывает на экране результат. Функция f принимает аргумент x типа float и возвращает значение интегрируемой функции в этой точке. Integral – основная функция программы: она выполняет все вычисления, связанные с нахождением определенного интеграла. Integral принимает четыре параметра: пределы интегрирования типа float, допустимую относительную ошибку типа float и указатель на интегрируемую функцию. Вычисления выполняются до тех пор, пока относительная ошибка, вычисляемая по формуле

| (In/2 – In) / In | ,

где In интеграл при числе разбиений n, не будет меньше требуемой. Например, допустимая относительная ошибка e = 0.02 это значит, что максимальная погрешность в вычислениях будет не больше, чем In * e = 0.02 * In. Функция реализована с экономией вычислений, т. е. учитывается, что Yкр постоянная, а Yнеч = Yнеч + Yчет, поэтому эти значения вычисляются единожды. Высокая точность и скорость вычисления делают использование программы на основе формулы Симпсона более желательным при приближенном вычислении интегралов, чем использование программ на основе формулы трапеции или метода прямоугольников.

Ниже предлагается блок – схема, спецификации, листинг и ручной счет программы на примере поставленной выше задачи. Блок – схема позволяет отследить и понять особенности алгоритма программы, спецификации дают представление о назначении каждой переменной в основной функции integral, листинг - исходный код работающей программы с комментариями, а ручной счет предоставляет возможность проанализировать результаты выполнения программы.

2. Блок – схема программы

Ввод a, b, e, f(x)

ДА

НЕТ

3. Спецификации

Имя переменной	Тип	Назначение
n	int	Число разбиений отрезка [a, b]
i	int	Счетчик циклов
a	float	Нижний предел интегрирования
b	float	Верхний предел интегрирования
h	float	Шаг разбиения отрезка
e	float	Допустимая относительная ошибка
f	float (*)	Указатель на интегрируемую фун - цию
s_ab	float	Сумма значений фун – ции в точках a и b
s_even	float	Сумма значений фун – ции в нечетных точках
s_odd	float	Сумма значений фун – ции в четных точках
s_res	float	Текущий результат интегрирования
s_pres	float	Предыдущий результат интегрирования

4. Листинг программы

#include <stdio.h>

#include <math.h>

/* Прототип фун – ции, вычисляющей интеграл */

float integral(float, float, float, float (*)(float));

/* Прототип фун – ции, задающей интегрируемую фун – цию */

float f(float);

main()

{

float result;

result = integral(0, 6, .1, f);

printf("%f", result);

return 0;

}

/* Реализация фун – ции, задающей интегрируемую фун – цию */

float f(float x)

{

/* Функция f(x) = x?(x - 5)? */

return pow(x, 3) * pow(x - 5, 2);

}

/* Реализация фун – ции, вычисляющей интеграл */

float integral(float a, float b, float e, float (*f)(float))

{

int n = 4, i; /* Начальное число разбиений 4 */

float s_ab = f(a) + f(b); /* Сумма значений фун – ции в a и b */

float h = (b – a) / n; /* Вычисляем шаг */

float s_even = 0, s_odd;

float s_res = 0, s_pres;

/* Сумма значений фун – ции в нечетных точках */

for (i = 2; i < n; i += 2) {

s_even += f(a + i * h);

}

do {

s_odd = 0;

s_pres = s_res;

/* Сумма значений фун – ции в четных точках */

for (i = 1; i < n; i += 2) {

s_odd += f(a + i * h);

}

/* Подсчет результата */

s_res = h / 3 * (s_ab + 2 * s_even + 4 * s_odd);

/* Избегаем деления на ноль */

if (s_res == 0) s_res = e;

s_even += s_odd;

n *= 2;

h /= 2;

} while (fabs((s_pres - s_res) / s_res) > e);/* Выполнять до тех пор, пока результат не будет удовлетворять допустимой ошибке */

return fabs(s_res); /* Возвращаем результат */

}

5. Ручной счет

Таблица константных значений для n = 8

Имя переменной	Значение
a	0
b	6
e	.1
s_ab	216
h	.75

Подсчет s_even

i	a + i * h	f(a + i * h)	s_even
2	1.5	41.34375	41.34375
4	3	108	149.34375
6	4.5	22.78125	172.125

Подсчет s_odd

i	a + i * h	f(a + i * h)	s_odd
1	.75	7.62012	7.62012
3	2.25	86.14158	93.7617
5	3.75	82.3973	176.159
7	5.25	9.044	185.203

Подсчет s_res

o f(x) dx	s_res = h / 3 * (s_ab + 2 * s_even + 4 * s_odd)	Абсолютная ошибка
324	325.266	1.266

Похожие курсовые работы

1. Пример задачи по формуле симпсона

2. Метод симпсона пример в паскале

3. Метод симпсона пример решения задач

4. Примеры вычисления интеграла по формуле симпсона

5. Баланс торговой организации пример

6. Баланс рабочего времени пример

7. Внешнеэкономический контракт купли продажи пример

8. Бюджетно распределительные счет пример

9. Анкета социологического опроса пример

10. Баланс предприятия пример

11. Анкета по социологии пример

12. Дневник отчет по практике экономика пример

13. Баланс предприятия форма и форма пример

14. Дневник по практике пример заполнения

15. График пример паутинообразная модель

Курсовые работы, рефераты и доклады