МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
ФОРМУЛА ПАРАБОЛ (ФОРМУЛА СИМПСОНА)
Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Магнитогорск –1999
Н
е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и применяются различные способы вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.
Формула парабол (формула Симпсона)
Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1] и [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2) и имеющей ось, параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид
y = Ax2 + Bx + C.
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла.
Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
Если криволинейная трапеция ограничена параболой
y = Ax2 + Bx + C,
осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна
S = h/3 (y0 + 4y1 + y2), (O)
где у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в середине отрезка