ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Кафедра математики
КУРСОВАЯ
на тему:
Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности.
Студент группы МЭК 1-1 - А.С. Кормаков
Научный руководитель - Солодовников А.С.
МОСКВА – 2001
СОДЕРЖАНИЕ
1. Двойственность в линейном программировании 3
2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности. 4
3. Симметричные двойственные задачи 9
4. Виды математических моделей двойственных задач 11
5. Двойственный симплексный метод 12
6. Список используемой литературы 14
1. Двойственность в линейном программировании
Понятие двойственности. С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной. Первоначальная задача называется исходной.
Связь исходной и двойственной задач состоит в том, что коэффициенты Cj функции цели исходной задачи являются свободными членами системы ограничений двойственной задачи, свободные члены Bi системы ограничений исходной задачи служат коэффициентами функции цели двойственной задачи, а матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи является транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной задачи. Решение двойственной задачи может быть получено из решения исходной и наоборот.
В качестве примера рассмотрим задачу использования ресурсов. Предприятие имеет т видов ресурсов в количестве bi (i = 1, 2, ..., m) единиц, из которых производится n видов продукций. Для производства 1 ед. i-й продукции расходуется aij ед. t-гo ресурса, а ее стоимость составляет Cj ед. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий ее максимальный выпуск в стоимостном выражении. Обозначим через xj (j =1,2, ..., n) количество ед. j-й продукций, Тогда исходную задачу сформулируем так.
Найти вектор Х =(x1, x2, …, xn), который удовлетворяет ограничениям
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ? b1,
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ? b2, xj ? 0 (j =1,2, ..., n)
…………………………………
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ? bm,
и доставляет максимальное значение линейной функции
Z = C1x1 + C2x2 + … + Cnxn,
Оценим ресурсы, необходимые для изготовления продукции. За единицу стоимости ресурсов примем единицу стоимости выпускаемой продукции. Обозначим через уi (j =1,2, ..., m) стоимость единицы i-го ресурса. Тогда стоимость всех затраченных ресурсов, идущих на изготовление единицы j-й продукции, равна . Стоимость затраченных ресурсов не может быть меньше стоимости окончательного продукта, поэтому должно выполняться неравенство ? Cj, j =1,2, ..., n. Стоимость всех имеющихся ресурсов выразится величиной