Отчет по практике юриста В КАДРАХ

Математическое моделирование потребностей регионов в педагогических кадрах

Н.В. Перцев, Омский государственный педагогический университет, кафедра математического анализа

1. Введение

Потребность некоторого региона в педагогических кадрах зависит от сочетания различных факторов демографического и социально-экономического характера. Эти факторы подвержены изменениям, которые влияют на количество учителей, работающих в школах региона, поэтому количество учителей может быть недостаточным, избыточным или соответствующим потребности в них. Соотношения между количеством работающих учителей и потребностью в них могут регулироваться за счет изменения некоторых параметров, численно выражающих влияние указанных факторов. К ним относятся, в частности, такие параметры, как средняя нагрузка учителей, граница допустимого возраста работы в школе (свыше пенсионного возраста), планы наборов в педвузы и училища, включая обучение на коммерческой основе. Конкретные значения этих параметров могут задаваться руководителями системы образования под влиянием реальной демографической и социально-экономической ситуации в регионе. В данной работе описан один из возможных подходов, позволяющий определять наиболее рациональные значения перечисленных параметров. Предлагаемый подход опирается на прогноз динамики количества учителей в школах региона с помощью математической модели. Определение искомых параметров сводится к постановке и решению задачи о нахождении оптимальных значений некоторых из параметров модели.

2. Описание модели

Динамика педагогических кадров в школах региона определяется балансовыми соотношениями между числом ежегодно увольняющихся и принимаемых на работу учителей. Пусть моменты времени t = t0, t1, t2, - означают начало очередного учебного года, причем tk = tk-1+1, k=1, 2, -, t0 - фиксировано, например, t0 = 1996. Примем, что величина y(t) задает общую численность учителей некоторой специальности, например, учителей математики в рассматриваемом регионе. Распределение численности учителей по возрасту будем описывать величинами y0(t), y1(t), -, ym(t), такими, что y(t) = ami=0 yi(t). Здесь индекс i = 0, 1, ?, m означает условный возраст учителей, i=0 задает наименьший возраст (для выпускников педвузов и училищ), i = 1 - следующий возраст, ?, i = m задает границу допустимого возраста работы в школе (этой границей может быть пенсионный или больший возраст). Пусть qi(t) - средние доли ежегодно увольняющихся учителей условного возраста i, 0 ? qi(t) ? 1, 0 ? i ? m, (без учета выхода на пенсию). Тогда величина

y0(t) =

m-1 a i = 0

[(1 - qi(t - 1)) yi(t - 1)]

равна общему количеству учителей, оставшихся работать в школах к началу очередного учебного года t (здесь и далее выражение [a] обозначает целую часть числа a).

Прием на работу в школы учителей условного возраста i будем описывать с помощью неотрицательных функций fi(t), которые показывают, сколько учителей данного условного возраста принято на работу в начале учебного года t, 0 ? i ? m. Предположим, что возрастной состав учителей y0(t-1), y1(t-1), ?, ym(t-1) в учебный год t-1 известен. Тогда возрастной состав учителей в учебный год t будет вычисляться по формулам

y0(t) = f0(t), y1(t) = [(1 - q0(t-1)) y0(t-1)] + f1(t), ..............................................................., yk(t) = [(1 - qk-1(t-1)) yk-1(t-1)] + fk(t), ................................................................, ym(t) = [(1 - qm-1(t-1)) ym-1(t-1)] + fm(t).

Установим вид функций fi(t), входящих в эти формулы. Пусть S(t) означает потребность региона в учителях фиксированной специальности на начало учебного года t. Значение S(t) определяется учебным планом по данному предмету и количеством классов-комплектов в школах региона при условии, что все учителя работают на ставку. Далее будем считать, что S(t) ? 1 при всех t ? t0. Примем, что q(t) описывает среднюю нагрузку учителей на начало учебного года t. Предполагаем, что q(t) может принимать некоторые значения из диапазона q1 ? q(t) ? q2, где параметры q1 > 0, q2 ? 1 задают нижнюю и верхнюю допустимые границы средней нагрузки учителей, например, 1 - 1,5 ставки. Зафиксируем S(t)/q(t). Тогда величина d(t) = S(t)/q(t)-y0(t) описывает разность между потребностью в учителях и их фактическим количеством на начало учебного года t. При d(t) ? 0 оставшихся учителей хватает, и новых учителей на работу можно не принимать. Если же d(t) > 0, то можно либо увеличить q(t), либо принять новых учителей, которые заполнят вакантные места. Общее количество вакантных мест V(t) и среднюю нагрузку q(t) в учебном году t будем задавать соотношениями: если S(t) ? q1 y0(t), то V(t) = 0, q(t) = q1, если же верно неравенство S(t) > q1y0(t), то полагаем, что

V(t) = min{x}, x = 0, 1, 2, ?, q1(y0(t) + x) < S(t) ? q2(y0(t) + x), q(t) = S(t)/(y0(t) + V(t)).

Обозначим через A0(t), A1(t), -, Am(t) количество учителей соответствующего условного возраста, обращающихся для трудоустройства в школы региона, по состоянию на начало учебного года t. Общее число A(t) учителей, принятых на работу к началу учебного года t, очевидно, равно

A(t) = min {

m a i = 0

Ai(t), V(t)}.

Весь набор условных возрастов 0 ? i ? m предcтавим в виде списка (i0, ?,ik, ?, im), который устанавливает приоритетность приема на работу учителей определенного возраста. Например, если i0 = 0, то в первую очередь на работу принимаются молодые специалисты (выпускники педвузов и училищ). Далее полагаем

fi0(t) = min{Ai0(t), max{0, A(t)}}, fi1(t) = min{Ai1(t), max{0, A(t) - fi0(t)}},

fik(t) = min{Aik(t), max{0, A(t) -

k-1 a n=0

fin(t)}},

2 ? k ? m.

Заметим, что величина A0(t) может быть представлена в виде A0(t) = g(t) + [pM(t-4)], где g(t) ? 0 описывает численность молодых специалистов, прибывающих на работу из других регионов; M(t-4) ? 0 задает план набора студентов в педвузы и училища, расположенные в данном регионе; параметр 0 ? p ? 1 означает долю первоначально принятых на учебу студентов, успешно закончивших курс обучения и направляющихся на работу в школы региона (рассматривается пятилетний цикл обучения).

В завершение зададим начальные условия:

yi(t0) = ci, 0 ? i ? m, M(t) = B(t), t0-4 ? t ? t0,

где ci ? 0 означают начальную численность учителей в год t0; 0 ? i ? m, B(t0-j) - планы наборов в педвузы и училища региона в течение пяти предшествующих лет; 0 ? j ? 4, включая год t0.

Представленные выше соотношения позволяют исследовать динамику численности учителей в течение заданного периода времени t0 ? t ? T. Для проведения конкретных расчетов необходимо иметь значения начальных данных и параметров модели. Все параметры модели можно разбить на две группы. Первая группа параметров - функции S(t), qi(t), Ai(t), 0 ? i ? m, g(t) - отражает демографическую и социально-экономическую ситуацию в регионе. При решении задачи по прогнозу численности учителей на период 5 - 10 лет эти функции могут быть приняты постоянными либо могут описываться с помощью простейших, например, линейных зависимостей. Опыт обработки реальных данных [1] указывает на удовлетворительное описание этих функций с помощью линейных зависимостей. Значение параметра p также может быть установлено по статистическим данным. Вторая группа параметров - m, q1, q2, MT={M(t-4), t0 ? t ? T } - может задаваться руководством системы образования региона на основе анализа данных по фактическому количеству работающих учителей и потребности в них. Один из способов выбора наиболее рациональных значений этих параметров описан в следующем разделе.

3. Вычисление оптимальных значений параметров модели

Исходя из смысла рассматриваемой задачи, будем выбирать такие значения второй группы параметров модели, чтобы количество учителей y(t) было бы как можно ближе к потребности в них S(t)/q(t), t0 ? t ? T. В качестве меры такой близости будем использовать максимальную за некоторый период Q = {t ? t0 : T-t ? t ? T} разность между S(t)/q(t) и y(t). Иначе говоря, введем функционал:

F = F(m, q1, q2, MT) = maxt+Q |S(t)/q(t) - y(t)|,

минимальное значение Fmin ? 0 которого требуется найти. При решении экстремальной задачи F ® min необходимо учитывать, что возможные значения второй группы параметров модели ограничены сверху :

m ? m*, q1 ? q2 ? q*, M(t) ? M*, tIQT

(1)

Здесь m* - максимально допустимый возраст работы в школе; q* - максимальная средняя нагрузка учителей; M* - максимальный план набора в педвузы и училища региона. Кроме того, в некоторых случаях планы наборов должны учитывать особенности социально-экономических и демографических условий региона в виде:

G(T1,T2) =

T2 a t=T1

l(t) M(t) ? G*,

(2)

где величина G(T1,T2) может означать, например, суммарную плату за обучение студентов в течение периода T1 ? t ? T2, количество предоставляемых квартир и т. д.; G* - их максимально допустимые значения; l(t) ? 0 - коэффициенты пропорциональности, T1 ? t ? T2.

Анализ рассматриваемой задачи показал, что оптимальные значения параметров модели должны определяться по следующей схеме: а) если существуют параметры m,q1,q2,MT, удовлетворяющие ограничениям (1), (2), причем F(m,q1,q2,MT)<1, то среди них выбираются m,q1,q2, имеющие наименьшие значения, и MT, минимизирующие G(T1,T2); б) если для всех параметров m,q1,q2,MT, удовлетворяющих ограничениям (1), (2), верно неравенство F(m,q1,q2,MT)<1, то ищется решение задачи F®min с заданными ограничениями; в случае нестрогого экстремума параметры выбираются по способу, указанному в пункте а.

Вычисление искомых параметров проводится в три этапа: 1) параметры m,q1,q2 фиксируются, M(t) задается в виде линейной функции ML(t) = u + w t, где u,w - целочисленные параметры, подлежащие определению; 2) при фиксированных m,q1,q2 функция M(t) подбирается путем перебора возможных значений в некоторой окрестности ML(t); 3) окончательные значения всех параметров уточняются в режиме диалога с ЭВМ. Проведенный вычислительный эксперимент показал вполне приемлемую работу данного алгоритма.

Таким образом, приведенные модель и метод определения оптимальных значений ее параметров дают решение поставленной в работе задачи. Применение модели к исследованию потребностей конкретного региона в педагогических кадрах предполагает наличие статистических данных, позволяющих оценивать ее параметры S(t), qi(t), Ai(t), 0 ? i ? m, g(t), p. Эти данные должны накапливаться и храниться в соответствующих базах данных, а также быть доступными для обработки.

В ряде случаев расчеты могут проводиться по неполным данным на основе упрощенных вариантов модели. Минимальный набор данных включает в себя следующие компоненты: динамика числа классов-комплектов; средние доли ежегодно увольняющихся учителей и начальное количество учителей (независимо от возраста); распределение численности учителей по возрасту, близкому к предпенсионному. Остальные параметры модели могут варьироваться в некоторых пределах, что позволяет определить лишь интервальные оценки для искомых оптимальных значений параметров второй группы. Очевидно, что в этих случаях результаты прогнозирования динамики количества учителей на заданный период t0 ? t ? T могут иметь весьма приближенный характер.

Список литературы

Перцев Н.В., Жуков С.И. Социально-экономические исследования в народном образовании Северо-Казахстанской области // Отчет по НИР Петропавловского пед. ин-та. Петропавловск, 1993. 96 с.

Отчет по практике юриста В КАДРАХ

Похожие курсовые работы