Антропометрические измерения школьников

2.7. КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

При косвенных измерениях искомое значение величины находят расчетом на основе измерения других величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью

Результатом косвенного измерения является оценка величины А, которую находят подстановкой в формулу (2.18) оценок аргументов а_i.

Поскольку каждый из аргументов а, измеряется с некоторой погрешностью, то задача оценивания погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Однако особенность косвенных измерений состоит в том, что вклад отдельных погрешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида функции (2. 18).

Для оценки погрешностей существенно разделение косвенных измерений на линейные и нелинейные косвенные измерения. При линейных косвенных измерениях уравнение измерений имеет вид

где b_j — постоянные коэффициенты при аргументах а_i.

Любые другие функциональные зависимости (2.18) относятся к нелинейным косвенным измерениям.

Результат линейного косвенного измерения вычисляют по формуле (2.19), подставляя в нее измеренные значения аргументов.

Погрешности измерения аргументов могут быть заданы своими границами , либо доверительными границами , с доверительными вероятностями Р_i .

При малом числе аргументов (меньше пяти) простая оценка погрешности результата получается суммированием предельных погрешностей (без учета знака), т.е. подстановкой границ ... , в выражение

(2.20)

Однако эта оценка является излишне завышенной, поскольку такое суммирование фактически означает, что погрешности измерения всех аргументов одновременно имеют максимальное значение и совпадают по знаку. Вероятность такого совпадения практически равна нулю. Для нахождения более реалистичной оценки переходят к статистическому суммированию погрешностей аргументов. Полагая, что в заданных границах погрешности аргументов распределены равномерно, доверительные границы (Р) погрешности результата измерения рассчитывают по формуле

(2.21)

где коэффициент k определен в (2.15).

Если погрешности измерения аргументов заданы доверительными границами с одинаковыми доверительными вероятностями, то полагая распределение этих погрешностей нормальным, доверительные границы результата находят по формуле

(2.22)

При различных доверительных вероятностях погрешностей аргументов их необходимо привести к одному и тому же значению Р.

Нелинейные косвенные измерения характеризуются тем, что результаты измерений аргументов подвергаются функциональным преобразованиям. Но, как показано в теории вероятностей, любые, даже простейшие функциональные преобразования случайных величин, приводят к изменению законов их распределения.

Пример. Результат измерения аргумента подчиняется нормальному распределению плотности вероятностей, кривая которого показана на рис. 2.13, а.

При возведении измеренного значения величины в квадрат q = а² график плотности распределения претерпевает изменения и принимает вид, показанный на рис. 2.13, б (вывод формулы опускаем). Уравнение кривой в этом случае имеет следующий вид:

Рис. 2.13. Графики плотности распределения вероятности результата измерения, подчиняющегося нормальному закону, и квадрата этого результата измерения

При сложной функции (2.18) и в особенности если это функция нескольких аргументов, отыскание закона распределения погрешности результата связано со значительными математическими трудностями. Поэтому при нелинейных косвенных измерениях приходится отказываться от использования интервальных оценок погрешности результата, ограничиваясь приближенной верхней оценкой ее границ. В основе приближенного оценивания погрешности нелинейных косвенных измерений лежит линеаризация функции (2.18) и дальнейшая обработка результатов, как при линейных измерениях.

Запишем выражение для полного дифференциала функции А:

(2.23)

По определению полный дифференциал функции — это приращение функции, вызванное малыми приращениями ее аргументов.

Учитывая, что погрешности измерения аргументов всегда являются малыми величинами по сравнению с номинальными значениями аргументов, можно заменить в (2.23) дифференциалы аргументов dа_i, на погрешности измерений а_i, а дифференциал функции dA на погрешность результата измерения :

(2.24)

Полагая, как и прежде, что распределения погрешностей аргументов подчиняются равномерному закону, при числе слагаемых m < 5 границы погрешности результата можно определить по формуле (2.20). В том случае, когда погрешности аргументов заданы их доверительными границами, оценку погрешности результата измерения вычисляют по (2.22). В обеих случаях роль коэффициентов b₁,b₂,…,b_m выполняют частные

производные

Применив формулу (2.24), получим несколько простых правил оценивания погрешности результата косвенного измерения.

Правило 1. Погрешности в суммах и разностях. Если a₁ и а₂ измерены с погрешностями и и измеренные значения используются для вычисления суммы или разности А = а_1*а_2, то суммируются абсолютные погрешности (без учета знака):

Правило 2. Погрешности в произведениях и частных. Если измеренные значения а₁, и а₂ используются для вычисления А = а₁ _* а₂ или А = а₁/а₂, то суммируются относительные погрешности , где .

Правило 3. Измеренная величина умножается на точное число.

Если а используется для вычисления произведения А = В * а, в котором В не имеет погрешности, то А = |В|а .

Правило 4. Возведение в степень. Если а используется для вычисления степени А = аⁿ, то А = .

Правило 5. Погрешность в произвольной функции одной переменной. Если а используется для вычисления функции А(а), то

Вывод этих правил не приводится и может быть легко сделан самостоятельно. Использование правил позволяет получить не слишком завышенную оценку предельной погрешности результата нелинейного косвенного измерения при не слишком большом числе аргументов (m < 5).

Пример. Производится косвенное измерение электрической мощности, рассеиваемой на резисторе сопротивлением R при протекании по нему тока I. Так как Р =I²R, то, применяя правила 2 и 4, получим

Пример. Измерением найдено значение утла Необходимо найти cos. Наилучшая оценка для cos20° = 0,94. Погрешность должна быть выражена в радианах, т.е. = 3° = 0,05 рад. Тогда по правилу 5 (cos) = (sin20°)*0,05 = 0,34-0,05 = 0,02. Окончательно cos = 0,94±0,02 .

Антропометрические измерения школьников

Похожие курсовые работы