Ïî èñòîðèè ãåîìåòðèè


Ñîäåðæàíèå:

Èç èñòîðèè íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè

3

Âèäû ïðîåöèðîâàíèÿ

5

Ïåðåñå÷åíèå ìíîãîãðàííèêîâ ïëîñêîñòüþ (îïèñàíèå ìåòîäà)

12

Ïðèìåðû çàäà÷

14

Ñïèñîê èñïîëüçóåìîé ëèòåðàòóðû


Èç èñòîðèè íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè.

Åùå â ãëóáîêîé äðåâíîñòè ÷åëîâåê ÷åðòèë è ðèñîâàë íà ñêàëàõ, êàìíÿõ, ñòåíàõ è ïðåäìåòàõ äîìàøíåãî îáèõîäà èçîáðàæåíèÿ âåùåé, äåðåâüåâ, æèâîòíûõ è ëþäåé. Îí äåëàë ýòî äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ ñâîèõ ïîòðåáíîñòåé, â òîì ÷èñëå ýñòåòè÷åñêèõ. Ïðè ýòîì îñíîâíîå òðåáîâàíèå ê òàêèì èçîáðàæåíèÿì çàêëþ÷àëîñü â òîì, ÷òîáû èçîáðàæåíèå âûçûâàëî ïðàâèëüíîå çðèòåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î ôîðìå èçîáðàæàåìîãî ïðåäìåòà.

Ðèìñêèé àðõèòåêòîð Âèòðóâèé åùå â 1 â. äî í. ý. ïðèìåíÿë òðè ïðîåêöèè – ïëàí, ôàñàä è ïðîôèëü. Âèòðóâèé ðàññêàçûâàåò â ñâîåì òðóäå «Äåñÿòü êíèã îá àðõèòåêòóðå», ÷òî åùå â V â. äî í. ý. Àãàôàðõ, Äåìîêðèò è Àíàêñàãîð ïîëüçîâàëèñü ýëåìåíòàìè ïåðñïåêòèâû ïðè ñîçäàíèè äåêîðàöèè äëÿ òåàòðà, êîãäà èñïîëíÿëèñü «Ïðèêîâàííûé Ïðîìåòåé» è äðóãèå òðàãåäèè âåëèêîãî äðåâíåãðå÷åñêîãî äðàìàòóðãà Ýñõèëà (525-456 ãã. äî í. ý.).

Ñ ðîñòîì ïðàêòè÷åñêèõ è òåõíè÷åñêèõ ïðèìåíåíèé èçîáðàæåíèé (â ñòðîèòåëüñòâå çäàíèé è äðóãèõ ãðàæäàíñêèõ è âîåííûõ ñîîðóæåíèé è ò. ï.) ê íèì ñòàëè ïðåäúÿâëÿòü è òàêèå òðåáîâàíèÿ, ÷òîáû ïî èçîáðàæåíèþ ìîæíî áûëî ñóäèòü î ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ, ðàçìåðàõ è âçàèìîðàñïîëîæåíèè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ îïðåäåëåííîãî ïðåäìåòà. Î òàêèõ òðåáîâàíèÿõ ìîæíî ñóäèòü ïî ìíîãèì ïàìÿòíèêàì äðåâíîñòè, óöåëåâøèì äî íàøèõ äíåé. Îäíàêî ñòðîãèå ãåîìåòðè÷åñêèå îáîñíîâàííûå ïðàâèëà è ìåòîäû èçîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ôèãóð (ñ ñîáëþäåíèåì ïåðñïåêòèâû) ñòàëè ñèñòåìàòè÷åñêè ðàçðàáàòûâàòü õóäîæíèêè, àðõèòåêòîðû è ñêóëüïòîðû ëèøü â ýïîõó Âîçðîæäåíèÿ: Ëåîíàðäî äà Âèí÷è, Äþðåð, Ðàôàýëü, Ìèêåëàíäæåëî, Òèöèàí è äð.

Îá èçîáðàæåíèÿõ, âûïîëíåííûõ ìåòîäàìè, áëèçêèìè ê àêñîíîìåòðèè, ñâèäåòåëüñòâóþò ðóññêèå ôðåñêè è èêîíîïèñíàÿ æèâîïèñü XIV-XVI ââ. Îòñóòñòâèåì ïåðñïåêòèâû õàðàêòåðèçóþòñÿ ìíîãèå ðóññêèå ìèíèàòþðû ñ òåõíè÷åñêîé òåìàòèêîé.

Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ïåðñïåêòèâû áûëè âïåðâûå ðàçðàáîòàíû Æ. Äåçàðãîì â 1630 ã.  ðóññêèõ ÷åðòåæàõ XVIII â. ïðèìåíÿþòñÿ, êðîìå ïåðñïåêòèâíûõ è àêñîíîìåòðè÷åñêèõ, òàêæå îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè. Ïîñëåäíèå, â ÷àñòíîñòè, èñïîëüçîâàëèñü âûäàþùèìèñÿ ðóññêèìè èçîáðåòàòåëÿìè È. È. Ïîëçóíîâûì è È. Ï. Êóëèáèíûì.

Ðàñòóùèå çàïðîñû àðõèòåêòóðû, òåõíèêè, ïðîìûøëåííîñòè, âîåííîãî äåëà è æèâîïèñè ïðèâåëè ê ôîðìèðîâàíèþ ñïåöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé âåòâè – íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè, çàâåðøåííîé ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ã. Ìîíæåì. Òðóä ïîñëåäíåãî «Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ», âîçíèêøèé èç ðåøåíèé ðÿäà âîïðîñîâ ôîðòèôèêàöèè è îïóáëèêîâàííûé â 1798 ã., ëåã â îñíîâó ïðîåêöèîííîãî ÷åð÷åíèÿ, êîòîðîå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ñîâðåìåííîé òåõíèêå è íàóêå.  ñâîåé êíèãå Ìîíæ ðàçðàáîòàë ìåòîä îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ôèãóð íà äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïëîñêîñòè («ìåòîä Ìîíæà»), ïîëó÷àÿ äâîéíîå èçîáðàæåíèå îðèãèíàëà – íà ãîðèçîíòàëüíîé è íà âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòÿõ. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ðåøèòü è îáðàòíóþ çàäà÷ó: âîññòàíîâëåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé ôèãóðû èëè èçó÷åíèå åå ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïî çàäàííûì (ãîðèçîíòàëüíîìó è âåðòèêàëüíîìó) èçîáðàæåíèÿì, à òàêæå ðåøåíèå ðàçëè÷íûõ çàäà÷, êàñàþùèõñÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ôèãóð, ñ ïîìîùüþ èõ ïëîñêèõ èçîáðàæåíèé.

Íåäîñòàòêîì ìåòîäà Ìîíæà ÿâëÿåòñÿ ìàëàÿ íàãëÿäíîñòü. Ïîýòîìó âî ìíîãèõ âîïðîñàõ, â ÷àñòíîñòè â øêîëå, íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ áîëåå íàãëÿäíûé, àêñîíîìåòðè÷åñêèé ìåòîä, îñíîâàííûé íà ïàðàëëåëüíîé ïðîåêöèè.

Íàèáîëåå íàãëÿäíîå èçîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâåííûõ ôèãóð íà ïëîñêîñòè äàåò öåíòðàëüíàÿ ïðîåêöèÿ – ïåðñïåêòèâà, òðåáóþùàÿ, îäíàêî, äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé äëÿ ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è, î êîòîðîé ãîâîðèëîñü âûøå. Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ñïîñîáû èçîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ôèãóð (ïðîåêöèè ñ ÷èñëîâûìè îòìåòêàìè, ôåäîðîâñêèå ïðîåêöèè è ò. ä.).

Ïåðâàÿ îðèãèíàëüíàÿ ðóññêàÿ êíèãà ïî íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè áûëà îïóáëèêîâàíà â 1821 ã. ß. À. Ñåâàñòüÿíîâûì. Ðàçíûå ïðèêëàäíûå âîïðîñû íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè ðàçðàáàòûâàëèñü àêàäåìèêîì È. È. Ñîìîñîâûì è ïðîôåññîðîì Â. È. Êóðäþìîâûì. Çíà÷èòåëüíûé íàó÷íûé âêëàä â ðàçâèòèå íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè âíåñ êðóïíûé ðóññêèé êðèñòàëëîãðàô è ãåîìåòð Å.Ñ. Ôåäîðîâ (1853-1919). Ñâîèìè òðóäàìè îí ñïîñîáñòâîâàë íå òîëüêî ðàçâèòèþ òåîðèè ãðóïï, íî è çàëîæåíèþ îñíîâ ìíîãîìåðíîé íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè. Ñî âòîðîé ïîëîâèíû ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ íà ðàçâèòèå íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè ñòàëà îêàçûâàòü çíà÷èòåëüíîå âëèÿíèå ïðîåêòèâíàÿ ãåîìåòðèÿ. Ïîíÿòèÿ ïðîåêòèâíîé ãåîìåòðèè äëÿ ïîñòðîåíèÿ íà÷åðòàòåëüíîé øèðîêî èñïîëüçîâàëè À. Ê. Âëàñîâ, Í. À. Ðûíèí è äðóãèå ñîâåòñêèå ìàòåìàòèêè.

(«Èñòîðèÿ ìàòåìàòèêè â øêîëå» Ã.È.Ãëåéçåð)


Âèäû ïðîåöèðîâàíèÿ

Ìåòîäîì íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè ÿâëÿåòñÿ ãðàôè÷åñêèé ìåòîä, îñíîâàííûé íà îïåðàöèè ïðîåöèðîâàíèÿ - áèíàðíàÿ êîíñòðóêòèâíàÿ ìîäåëü ïðîñòðàíñòâà, ïðîñòðàíñòâåííûõ ôîðì è îòíîøåíèé, ò.å. ìåòîä ïëîñêîñòíûõ (áèíàðíûõ, äâóìåðíûõ) ìîäåëåé ïðîñòðàíñòâ.

Íàì íåîáõîäèìî ñòðîèòü ïëîñêîñòíûå ìîäåëè ïðîñòðàíñòâ è ïî íèì óìåòü ðåøàòü ðàçíîîáðàçíûå ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è. Åñëè òð¸õìåðíûå ïðîñòðàíñòâåííûå ôîðìû ñôîðìèðîâàíû íà äâóõìåðíîé ïëîñêîñòè - ýòî ÷åðò¸æ. ×åðò¸æ - ýòî îïðåäåë¸ííàÿ ñîâîêóïíîñòü òî÷åê è ëèíèé íà ïëîñêîñòè. Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ çàíèìàåòñÿ ïîñòðîåíèåì ÷åðòåæåé ïðîñòðàíñòâåííûõ ôîðì è îòíîøåíèé. Êàêèå æå äâóõìåðíûå ÷åðòåæè ìîãóò áûòü ìîäåëÿìè, êîòîðûå áû îòîáðàæàëè ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà, ïðîñòðàíñòâåííûå ôîðìû è îòíîøåíèÿ?

Òóò âîçíèêàåò äâà âîïðîñà:

  1. Êàê îáðàçîâàòü, êàê ïîëó÷èòü òàêèå ìîäåëè? (Êàê ñòðîèòü òàêèå ÷åðòåæè, ÷òîáû îíè áûëè îòîáðàæåíèåì ïðîñòðàíñòâà)

  2. ×òî èçîáðàæàòü íà ýòîé ìîäåëè (÷åðòåæå), ÷òîáû ýòà ìîäåëü ìîãëà îòðàæàòü ïðîñòðàíñòâåííûå ôîðìû è îòíîøåíèÿ?

Îòâå÷àÿ íà ïåðâûé âîïðîñ, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êàæäûé ÷åðò¸æ ïîñòðîåí ïî ìåòîäó ïðîåêöèé. Ñóùåñòâóåò äâà âèäà ïðîåöèðîâàíèÿ: öåíòðàëüíîå è ïàðàëëåëüíîå.

Öåíòðàëüíîå ïðîåöèðîâàíèå.

Öåíòðàëüíîå ïðîåöèðîâàíèå - íàèáîëåå îáùèé ñëó÷àé ïîëó÷åíèÿ ïðîåêöèé ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð. Ñóùíîñòü åãî ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:

[image]

Ðèñ.1

Ïóñòü äàíû ïëîñêîñòü [image](òýòà) è òî÷êà S [image][image](ðèñ.1). Âîçüì¸ì â ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó A, ïðè÷¸ì A [image]S [image]A [image]S. Íàì íóæíî ïîñòðîèòü öåíòðàëüíóþ ïðîåêöèþ òî÷êè À. Äëÿ ýòîãî ÷åðåç çàäàííûå òî÷êè S è A ïðîâåä¸ì ëó÷ [SA). Öåíòðàëüíîé ïðîåêöèåé òî÷êè À áóäåò òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à [SA) ñ ïëîñêîñòüþ [image].

[SA) [image][image]= A[image]

Ïëîñêîñòü [image]íàçûâàþò ïëîñêîñòüþ ïðîåêöèé, òî÷êó S - öåíòðîì ïðîåêöèè, ïîëó÷åííóþ òî÷êó A[image] - öåíòðàëüíîé ïðîåêöèåé òî÷êè À íà ïëîñêîñòü [image], [SA[image]) - ïðîåöèðóþùèì ëó÷îì.

Àïïàðàò öåíòðàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ çàäàí, åñëè çàäàíî ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè ïðîåêöèé [image]è öåíòðà ïðîåêöèé S. Åñëè àïïàðàò ïðîåöèðîâàíèÿ çàäàí, òî âñåãäà ìîæíî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå öåíòðàëüíîé ïðîåêöèè ëþáîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà íà ïëîñêîñòè ïðîåêöèé.

Íàïðèìåð: Äàíà òî÷êà B. Ïðîâåä¸ì ïðîåöèðóþùèé ëó÷ [SB) è îïðåäåëèì òî÷êó âñòðå÷è åãî ñ ïëîñêîñòüþ [image]. Ýòî è åñòü öåíòðàëüíàÿ ïðîåêöèÿ B[image] òî÷êè B ïðè çàäàííîì àïïàðàòå ïðîåöèðîâàíèÿ ([image],S).

Åñëè òî÷êà Ñ ðàñïîëîæåíà òàê, ÷òî ïðîåöèðóþùèé ëó÷ [SÑ) [image][image], òî îí ïåðåñå÷¸ò ïëîñêîñòü ïðîåêöèé â íåñîáñòâåííîé òî÷êå Ñ[image].

Ïðè çàäàííîì àïïàðàòå ïðîåöèðîâàíèÿ ([image],S) êàæäàÿ òî÷êà ïðîñòðàíñòâà áóäåò èìåòü îäíó è òîëüêî îäíó öåíòðàëüíóþ ïðîåêöèþ (ò.ê. ÷åðåç äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè îäíó è òîëüêî îäíó ïðÿìóþ). Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå èìååò ñìûñëà, òàê êàê òî÷êà A[image] ìîæåò áûòü öåíòðàëüíîé ïðîåêöèåé ëþáîé òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé ïðÿìîé (A[image]S) (Íàïðèìåð öåíòðàëüíûå ïðîåêöèè òî÷åê A è D ñîâïàäàþò).

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îäíà öåíòðàëüíàÿ ïðîåêöèÿ òî÷êè íå îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå.

[image]

Ðèñ.2

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå íåîáõîäèìî èìåòü äâå öåíòðàëüíûå ïðîåêöèè òî÷êè, ïîëó÷åííûå èç äâóõ ðàçëè÷íûõ öåíòðîâ ïðîåöèðîâàíèÿ (ðèñ.2).

Äîñòîèíñòâî öåíòðàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ - íàãëÿäíîñòü. Íåäîñòàòîê - ñòåïåíü èñêàæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ öåíòðà ïðîåêöèé äî ïëîñêîñòè ïðîåêöèé, ïîýòîìó öåíòðàëüíîå ïðîåöèðîâàíèå íåóäîáíî äëÿ ïðîñòàíîâêè ðàçìåðîâ.

 ìàøèíîñòðîèòåëüíîì ÷åð÷åíèè ïðèìåíÿåòñÿ ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå.

Ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå.

Ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì öåíòðàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ, êîãäà öåíòð ïðîåêöèé ëåæèò â íåñîáñòâåííîé òî÷êå S[image], ïîýòîìó âñå ïðîåöèðóþùèå ëó÷è ïàðàëëåëüíû.

[image]

Ðèñ.3

Àïïàðàò ïàðàëëåëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ çàäàí, åñëè çàäàíî ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè ïðîåêöèé [image]è íàïðàâëåíèå ïðîåöèðîâàíèÿ S.

Âñå ñâîéñòâà öåíòðàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ:

  1. Ïðè çàäàíèè àïïàðàòà ïàðàëëåëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ êàæäàÿ òî÷êà ïðîñòðàíñòâà èìååò îäíó è òîëüêî îäíó ïàðàëëåëüíóþ ïðîåêöèþ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå èìååò ìåñòà.

  2. Äëÿ çàäàíèÿ òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå íåîáõîäèìî èìåòü äâå å¸ ïàðàëëåëüíûå ïðîåêöèè, ïîëó÷åííûå ïðè äâóõ ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ ïðîåöèðîâàíèÿ.

Ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå äåëèòñÿ íà:

Ïðÿìîóãîëüíîå - [image]=90° ([image] - óãîë ïàäåíèÿ ïðîåöèðóþùåãî ëó÷à ê ïëîñêîñòè ïðîåêöèé).

Êîñîóãîëüíîå - [image][image]90°.

Îñíîâíûå èíâàðèàíòíûå (íåçàâèñèìûå) ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ.

Ïðè ïàðàëëåëüíîì ïðîåöèðîâàíèè íàðóøàþòñÿ ìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð (ïðîèñõîäèò èñêàæåíèå ëèíåéíûõ è óãëîâûõ âåëè÷èí), ïðè÷¸ì ñòåïåíü íàðóøåíèÿ çàâèñèò êàê îò àïïàðàòà ïðîåöèðîâàíèÿ, òàê è îò ïîëîæåíèÿ ïðîåöèðóåìîé ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðû â ïðîñòðàíñòâå ïî îòíîøåíèþ ê ïëîñêîñòè ïðîåêöèè.

[image]

Ðèñ.4

Ïðèìåð:
[image](A,B,C,D) [image][image]
|AB|[image]|A[image]B[image]|, |BC|[image]|B[image]C[image]| è ò.ä.
[image]|DAB|[image][image]|D[image]A[image]B[image]|, [image]|ABC|[image][image]|A[image]B[image]C[image]| è ò.ä.

Íî íàðÿäó ñ ýòèì, ìåæäó îðèãèíàëîì è åãî ïðîåêöèåé ñóùåñòâóåò îïðåäåë¸ííàÿ ñâÿçü, çàêëþ÷àþùàÿñÿ â òîì, ÷òî íåêîòîðûå ñâîéñòâà îðèãèíàëà ñîõðàíÿþòñÿ è íà åãî ïðîåêöèè. Ýòè ñâîéñòâà íàçûâàþòñÿ èíâàðèàíòíûìè (ïðîåêòèâíûìè) äëÿ äàííîãî ñïîñîáà ïðîåöèðîâàíèÿ.

 ïðîöåññå ïàðàëëåëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ (ïîëó÷åíèÿ ïðîåêöèé ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðû ïî å¸ îðèãèíàëó) èëè ðåêîíñòðóêöèè ÷åðòåæà (âîñïðîèçâåäåíèÿ îðèãèíàëà ïî çàäàííûì åãî ïðîåêöèÿì) ëþáóþ òåîðåìó ìîæíî ñîñòàâèòü è äîêàçàòü, áàçèðóÿñü íà èíâàðèàíòíûõ ñâîéñòâàõ ïàðàëëåëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ, êîòîðûå â íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè èãðàþò òàêóþ æå ðîëü, êàê àêñèîìû â ãåîìåòðèè.

Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî â íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè ñóùåñòâóþò äâå ñèñòåìû àêñèîì:

îäíà ñèñòåìà èñïîëüçóåòñÿ ïðè ïàðàëëåëüíîì ïðîåöèðîâàíèè - ýòî ñóòü èíâàðèàíòíûå ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ.

äðóãàÿ ñèñòåìà èñïîëüçóåòñÿ, êîãäà ïðîåêöèè ïîñòðîåíû è ðåøàåòñÿ ïëîñêàÿ çàäà÷à (çàäà÷à íà ïëîñêîñòè) - ýòî àêñèîìû åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè.

Îòñþäà ÿñíî, íàñêîëüêî âàæíî âûÿñíèòü è õîðîøî óñâîèòü ýòè èíâàðèàíòíûå ñâîéñòâà.

[image]

1. Ïðîåêöèÿ òî÷êè åñòü òî÷êà.

2. Ïðîåêöèÿ ïðÿìîé ëèíèè íà ïëîñêîñòü åñòü ïðÿìàÿ ëèíèÿ.

(Äëÿ âñåõ ïðÿìûõ, íå ïàðàëëåëüíûõ íàïðàâëåíèþ ïðîåöèðîâàíèÿ, ïðîåêöèÿ ïðÿìîé åñòü ïðÿìàÿ.)

3. Åñëè â ïðîñòðàíñòâå òî÷êà èíöèäåíòíà (ïðèíàäëåæèò) ëèíèè, òî ïðîåêöèÿ ýòîé òî÷êè ïðèíàäëåæèò ïðîåêöèè ëèíèè.

Ñëåäñòâèå: Åñëè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå K, òî ïðîåêöèè ïðÿìûõ ïåðåñåêàþòñÿ â ïðîåêöèè òî÷êè - K[image].

4. Ïðîåêöèè âçàèìíî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ òàêæå âçàèìíî ïàðàëëåëüíû.

5. Îòíîøåíèå îòðåçêîâ ïðÿìîé ðàâíî îòíîøåíèþ ïðîåêöèé ýòèõ îòðåçêîâ.

6. Åñëè ïëîñêàÿ ôèãóðà ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè ïðîåêöèé, òî íà ýòó ïëîñêîñòü îíà ïðîåöèðóåòñÿ â êîíãðóýíòíóþ ôèãóðó.

Ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ïëîñêîñòè ïðîåêöèé âåëè÷èíà ïðîåêöèé íå èçìåíèòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì íå ðèñîâàòü ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè ïðîåêöèé.

[image]

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáðàòèìîãî ÷åðòåæà íåîáõîäèìî èìåòü äâå âçàèìîñâÿçàííûå ïðîåêöèè îðèãèíàëà.

Ïîýòîìó òîëüêî ïðÿìîóãîëüíîå (îðòîãîíàëüíîå) ïðîåöèðîâàíèå, ïî êðàéíåé ìåðå, íà äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòè ïðîåêöèé ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ìåòîäîì ïîñòðîåíèÿ òåõíè÷åñêîãî ÷åðòåæà (ìåòîä Ìîíæà).

Îðòîãîíàëüíîå (ïðÿìîóãîëüíîå) ïðîåöèðîâàíèå îáëàäàåò ðÿäîì ïðåèìóùåñòâ ïåðåä öåíòðàëüíûì è ïàðàëëåëüíûì (êîñîóãîëüíûì) ïðîåöèðîâàíèåì.

Ê íèì â ïåðâóþ î÷åðåäü ñëåäóåò îòíåñòè:

ïðîñòîòó ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ïðîåêöèé òî÷åê

âîçìîæíîñòü ïðè îïðåäåë¸ííûõ óñëîâèÿõ ñîõðàíÿòü íà ïðîåêöèÿõ ôîðìó è ðàçìåðû îðèãèíàëà.

Ïîýòîìó ýòîò ìåòîä óäîáåí äëÿ ïðîñòàíîâêè ðàçìåðîâ.

()


Ïåðåñå÷åíèå ìíîãîãðàííèêîâ ïëîñêîñòüþ.

Ìíîãîãðàííèêîì íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ, ñîñòîÿùåé èç îòñåêîâ ïëîñêîñòåé, èìåþùèõ ôîðìó ìíîãîóãîëüíèêîâ.

Ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêîâ îáðàçóþò ð¸áðà, à ïëîñêîñòè ìíîãîóãîëüíèêîâ - ãðàíè ìíîãîãðàííèêà.

Ïîýòîìó çàäà÷ó ïî îïðåäåëåíèþ ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà ïëîñêîñòüþ ìîæíî ñâåñòè ê ìíîãîêðàòíîìó ðåøåíèþ çàäà÷è ïî íàõîæäåíèþ:

à) ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé (ãðàíåé ìíîãîãðàííèêà è ñåêóùåé ïëîñêîñòè)
èëè
á) òî÷êè âñòðå÷è ïðÿìîé (ð¸áåð ìíîãîãðàííèêà) ñ ñåêóùåé ïëîñêîñòüþ.

()

Îñíîâíîé òèïîâîé çàäà÷åé íà ýòó òåìó â øêîëüíîé ïðîãðàììå ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ñå÷åíèÿ, ïî òðåì, çàäàííûì íà ïîâåðõíîñòè ìíîãîãðàííèêà, òî÷êàì, ïðèíàäëåæàùèì ñåêóùåé ïëîñêîñòè.

Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ òàêîãî ñå÷åíèÿ ñëåäóþùèé:

1) Âûáèðàåì íàèáîëåå ïîäõîäÿùóþ ãðàíü ìíîãîãðàííèêà äëÿ ïîñòðîåíèÿ íà åå ïëîñêîñòè (äàëåå ïëîñêîñòü îñíîâàíèÿ) (ò.å. ïëîñêîñòè ê êîòîðîé ïðèíàäëåæèò âûáðàííàÿ ãðàíü) ñëåäà ñåêóùåé ïëîñêîñòè. Äëÿ äàííûõ

[image]1)

öåëåé íàèáîëåå ïîäõîäÿùåé ÿâëÿåòñÿ ãðàíü, íà ðåáðà êîòîðîé ìîæíî îïóñòèòü ïðîåêöèþ îò êàæäîé çàäàííîé òî÷êè.

(Íà êàðòèíêå: MI(ASE); KI(ESD); NI(BSC). Â äàííîì ïðèìåðå íàèáîëåå ïîäõîäÿùåé ÿâëÿåòñÿ ãðàíü (ABCDE))

2)Ïðîåöèðóåì êàæäóþ çàäàííóþ òî÷êó íà ïëîñêîñòü îñíîâàíèÿ. Ñóùåñòâóåò äâà âîçìîæíûõ âèäà ïðîåöèðî-âàíèÿ: öåíòðàëüíîå è ïàðàëëåëüíîå. Öåíòðàëüíîå ïðîåöèðîâàíèå, êàê ïðàâèëî, èñïîëüçóåòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè ñå÷åíèé ïèðàìèä, à âåðøèíà ïèðàìèäû, ïðè ýòîì ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ïðîåêöèè. Ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå èñïîëüçóåòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè ñå÷åíèé ïðèçì.

(â äàííîì ïðèìåðå èñïîëüçóåì öåíòðàëüíîå ïðîåöèðîâàíèå. Îïóñêàåì èç âåðøèíû S ê ïëîñêîñòè

[image]2)

ïðîåêöèé ïðîåöèðóþùèå ëó÷è:(SM),(SK),(SN). Íàçîâåì ïîëó÷èâøèåñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè ïðîåöèðóþùèõ ëó÷åé ñ ðåáðàìè, îáðàçîâàííûìè îñíîâàíèåì è áîêîâûìè ñòîðîíàìè ïèðàìèäû: M’, K" è N’, ñîîòâåòñòâåííî.)

3)Ïåðåñåêàåì ïðÿìóþ, îáðàçîâàííóþ äâóìÿ çàäàííûìè òî÷êàìè, ñ ïðÿìîé îáðàçîâàííîé ïðîåêöèÿìè ýòèõ æå òî÷åê.(MK è M’K’). Ïîëó÷åííàÿ òî÷êà (P1) ïðèíàäëåæèò ñëåäó ñåêóùåé ïëîñêîñòè íà ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ. Íàõîäèì âòîðóþ òî÷êó (P2) è ñòðîèì ïðÿìóþ (ñëåä ñåêóùåé ïëîñêîñòè).

[image]3)

4) Äàëåå, äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ñ ðåáðàìè ìíîãîãðàííèêà, îò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ðåáðà ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ïðîâîäèì ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ïðîåêöèþ, çàäàííîé â óñëîâèè çàäà÷è òî÷êè (AK’). Îò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïðÿìîé ñî ñëåäîì ñåêóùåé ïëîñêîñòè (K”) ïðîâîäèì ïðÿìóþ (K”K), ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó, ïðîåêöèÿ êîòîðîé ïåðåä ýòèì èñïîëüçîâàëàñü. Ïåðåñå÷åíèå ýòîé ïðÿìîé ñ ðåáðîì, íà êîòîðîì èùåòñÿ ïåðåñå÷åíèå ñ ïëîñêîñòüþ ñå÷åíèÿ, ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé òî÷êîé (A’).

5) ñîåäèíÿåì âñå íàéäåííûå òî÷êè.

[image]4)

[image]5)


Ïðèìåðû çàäà÷.

    1. Ïîñòðîéòå ñå÷åíèå êóáà ïëîñêîñòüþ ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè, óêàçàííûå íà ðèñóíêå

[image]

    1. Ïîñòðîéòå ñå÷åíèå ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû ïëîñêîñòüþ, ÷åðåç òî÷êè, óêàçàííûå íà ðèñóíêå.

[image]

    1. Ïîñòðîéòå ñå÷åíèå ïðàâèëüíîé øåñòèóãîëüíîé ïðèçìû ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè, óêàçàííûå íà ðèñóíêå.

    2. Ìåíüøèé êóá ïîñòàâëåí íà áîëüøèé òàêèì îáðàçîì, ÷òî îíè èìåþò îáùóþ âåðøèíó è èõ ãðàíè ïàðàëëåëüíû. Ïîñòðîéòå ñå÷åíèå ïîëó÷åííîé ôèãóðû ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà ñêðåùèâàþùèõñÿ ðåáðàõ ìåíüøåãî êóáà.


Ðåøåíèå:

1)

À) ïðîâîäèì ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàíüþ êóáà (ÀÂ)

Á) ïðîâîäèì ïàðàëëåëüíóþ åé (ÀÂ)íà ïðîòèâîëåæàùåé ãðàíè (ÅÑ)

Â) ïðîâîäèì ÅÀ

Ã) ïðîâîäèì ïðÿìóþ BD||EA

Ä) Ñîåäèíÿåì D c C

Ñå÷åíèå (ABDCE) ïîñòðîåíî.

[image]

2)

À) ïðîåöèðóåì íà ïëîñêîñòü îñíîâàíèÿ, ïóòåì öåíòðàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ èç âåðøèíû, òî÷êè  è Ñ, ïîëó÷àÿ òî÷êè: B’ è C’.

Á) ïåðåñåêàåì ïðÿìûå B’C’ è BC, íàõîäèì òî÷êó P’

Â) ïåðåñåêàåì AP’ è D’C’, íàõîäèì òî÷êó D”.

Ã) ïåðåñåêàåì D”C è SD’, íàõîäèì D

ABDC – ñå÷åíèå.

[image]





Ïîõîæèå êóðñîâûå ðàáîòû

1. Èñòîðèè áîëåçíè äåòñêîé õèðóðãèè

2. Èñòîðèè áîëåçíè ïî äåòñêîé õèðóðãèè

3. Èñòîðèè áîëåçíè ïî ãèíåêîëîãèè àäíåêñèò

4. à  Ãåãåëü î ñìûñëå ÷åëîâå÷åñêîé èñòîðèè

5. Ã Ô Ãåãåëü î ñìûñëå ÷åëîâå÷åñêîé èñòîðèè

6. Ãåãåëü î ñìûñëå ÷åëîâå÷åñêîé èñòîðèè

7. ÐÅÔÅÐÔÒ ÃÅÃÅËÜ Î ÑÌÛÑËÅ ×ÅËÎÂÅ×ÅÑÊÎÉ ÈÑÒÎÐÈÈ

8. Èñòîðèè ãåíåðàëà àíîñîâà èñòîðèè ãåíåðàëà

9. Èñòîðèè áîëåçíè ïî ãèíåêîëîãèè

10. Èñòîðèÿ ðîññèè êàê ÷àñòü âñåìèðíîé èñòîðèè

11. Èç èñòîðèè áèáëèîòå÷íîé ïðîôåññèè ýòàïû ðàçâèòèÿ

12. Âàæíåéøèå äàòû èñòîðèè ðîññèè ââ

13. Äþðêãåéì ïðèìåðû ñàìîóáèéñòâ èç èñòîðèè

14. Áåñïëàòíàÿ èíôîðìàöèÿ î èñòîðèè îëèìïèéñêèõ èãð

15. Òåìû êóðñîâûõ ðàáîò ïî èñòîðèè

Êóðñîâûå ðàáîòû, ðåôåðàòû è äîêëàäû