Ñîäåðæàíèå:
Èç èñòîðèè íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè | 3 |
Âèäû ïðîåöèðîâàíèÿ | 5 |
Ïåðåñå÷åíèå ìíîãîãðàííèêîâ ïëîñêîñòüþ (îïèñàíèå ìåòîäà) | 12 |
Ïðèìåðû çàäà÷ | 14 |
Ñïèñîê èñïîëüçóåìîé ëèòåðàòóðû |
Èç èñòîðèè íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè.
Åùå â ãëóáîêîé äðåâíîñòè ÷åëîâåê ÷åðòèë è ðèñîâàë íà ñêàëàõ, êàìíÿõ, ñòåíàõ è ïðåäìåòàõ äîìàøíåãî îáèõîäà èçîáðàæåíèÿ âåùåé, äåðåâüåâ, æèâîòíûõ è ëþäåé. Îí äåëàë ýòî äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ ñâîèõ ïîòðåáíîñòåé, â òîì ÷èñëå ýñòåòè÷åñêèõ. Ïðè ýòîì îñíîâíîå òðåáîâàíèå ê òàêèì èçîáðàæåíèÿì çàêëþ÷àëîñü â òîì, ÷òîáû èçîáðàæåíèå âûçûâàëî ïðàâèëüíîå çðèòåëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î ôîðìå èçîáðàæàåìîãî ïðåäìåòà.
Ðèìñêèé àðõèòåêòîð Âèòðóâèé åùå â 1 â. äî í. ý. ïðèìåíÿë òðè ïðîåêöèè – ïëàí, ôàñàä è ïðîôèëü. Âèòðóâèé ðàññêàçûâàåò â ñâîåì òðóäå «Äåñÿòü êíèã îá àðõèòåêòóðå», ÷òî åùå â V â. äî í. ý. Àãàôàðõ, Äåìîêðèò è Àíàêñàãîð ïîëüçîâàëèñü ýëåìåíòàìè ïåðñïåêòèâû ïðè ñîçäàíèè äåêîðàöèè äëÿ òåàòðà, êîãäà èñïîëíÿëèñü «Ïðèêîâàííûé Ïðîìåòåé» è äðóãèå òðàãåäèè âåëèêîãî äðåâíåãðå÷åñêîãî äðàìàòóðãà Ýñõèëà (525-456 ãã. äî í. ý.).
Ñ ðîñòîì ïðàêòè÷åñêèõ è òåõíè÷åñêèõ ïðèìåíåíèé èçîáðàæåíèé (â ñòðîèòåëüñòâå çäàíèé è äðóãèõ ãðàæäàíñêèõ è âîåííûõ ñîîðóæåíèé è ò. ï.) ê íèì ñòàëè ïðåäúÿâëÿòü è òàêèå òðåáîâàíèÿ, ÷òîáû ïî èçîáðàæåíèþ ìîæíî áûëî ñóäèòü î ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ, ðàçìåðàõ è âçàèìîðàñïîëîæåíèè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ îïðåäåëåííîãî ïðåäìåòà. Î òàêèõ òðåáîâàíèÿõ ìîæíî ñóäèòü ïî ìíîãèì ïàìÿòíèêàì äðåâíîñòè, óöåëåâøèì äî íàøèõ äíåé. Îäíàêî ñòðîãèå ãåîìåòðè÷åñêèå îáîñíîâàííûå ïðàâèëà è ìåòîäû èçîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ôèãóð (ñ ñîáëþäåíèåì ïåðñïåêòèâû) ñòàëè ñèñòåìàòè÷åñêè ðàçðàáàòûâàòü õóäîæíèêè, àðõèòåêòîðû è ñêóëüïòîðû ëèøü â ýïîõó Âîçðîæäåíèÿ: Ëåîíàðäî äà Âèí÷è, Äþðåð, Ðàôàýëü, Ìèêåëàíäæåëî, Òèöèàí è äð.
Îá èçîáðàæåíèÿõ, âûïîëíåííûõ ìåòîäàìè, áëèçêèìè ê àêñîíîìåòðèè, ñâèäåòåëüñòâóþò ðóññêèå ôðåñêè è èêîíîïèñíàÿ æèâîïèñü XIV-XVI ââ. Îòñóòñòâèåì ïåðñïåêòèâû õàðàêòåðèçóþòñÿ ìíîãèå ðóññêèå ìèíèàòþðû ñ òåõíè÷åñêîé òåìàòèêîé.
Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ïåðñïåêòèâû áûëè âïåðâûå ðàçðàáîòàíû Æ. Äåçàðãîì â 1630 ã.  ðóññêèõ ÷åðòåæàõ XVIII â. ïðèìåíÿþòñÿ, êðîìå ïåðñïåêòèâíûõ è àêñîíîìåòðè÷åñêèõ, òàêæå îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè. Ïîñëåäíèå, â ÷àñòíîñòè, èñïîëüçîâàëèñü âûäàþùèìèñÿ ðóññêèìè èçîáðåòàòåëÿìè È. È. Ïîëçóíîâûì è È. Ï. Êóëèáèíûì.
Ðàñòóùèå çàïðîñû àðõèòåêòóðû, òåõíèêè, ïðîìûøëåííîñòè, âîåííîãî äåëà è æèâîïèñè ïðèâåëè ê ôîðìèðîâàíèþ ñïåöèàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé âåòâè – íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè, çàâåðøåííîé ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ã. Ìîíæåì. Òðóä ïîñëåäíåãî «Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ», âîçíèêøèé èç ðåøåíèé ðÿäà âîïðîñîâ ôîðòèôèêàöèè è îïóáëèêîâàííûé â 1798 ã., ëåã â îñíîâó ïðîåêöèîííîãî ÷åð÷åíèÿ, êîòîðîå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ñîâðåìåííîé òåõíèêå è íàóêå.  ñâîåé êíèãå Ìîíæ ðàçðàáîòàë ìåòîä îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ôèãóð íà äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïëîñêîñòè («ìåòîä Ìîíæà»), ïîëó÷àÿ äâîéíîå èçîáðàæåíèå îðèãèíàëà – íà ãîðèçîíòàëüíîé è íà âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòÿõ. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ðåøèòü è îáðàòíóþ çàäà÷ó: âîññòàíîâëåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé ôèãóðû èëè èçó÷åíèå åå ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïî çàäàííûì (ãîðèçîíòàëüíîìó è âåðòèêàëüíîìó) èçîáðàæåíèÿì, à òàêæå ðåøåíèå ðàçëè÷íûõ çàäà÷, êàñàþùèõñÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ôèãóð, ñ ïîìîùüþ èõ ïëîñêèõ èçîáðàæåíèé.
Íåäîñòàòêîì ìåòîäà Ìîíæà ÿâëÿåòñÿ ìàëàÿ íàãëÿäíîñòü. Ïîýòîìó âî ìíîãèõ âîïðîñàõ, â ÷àñòíîñòè â øêîëå, íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ áîëåå íàãëÿäíûé, àêñîíîìåòðè÷åñêèé ìåòîä, îñíîâàííûé íà ïàðàëëåëüíîé ïðîåêöèè.
Íàèáîëåå íàãëÿäíîå èçîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâåííûõ ôèãóð íà ïëîñêîñòè äàåò öåíòðàëüíàÿ ïðîåêöèÿ – ïåðñïåêòèâà, òðåáóþùàÿ, îäíàêî, äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé äëÿ ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è, î êîòîðîé ãîâîðèëîñü âûøå. Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ñïîñîáû èçîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ ôèãóð (ïðîåêöèè ñ ÷èñëîâûìè îòìåòêàìè, ôåäîðîâñêèå ïðîåêöèè è ò. ä.).
Ïåðâàÿ îðèãèíàëüíàÿ ðóññêàÿ êíèãà ïî íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè áûëà îïóáëèêîâàíà â 1821 ã. ß. À. Ñåâàñòüÿíîâûì. Ðàçíûå ïðèêëàäíûå âîïðîñû íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè ðàçðàáàòûâàëèñü àêàäåìèêîì È. È. Ñîìîñîâûì è ïðîôåññîðîì Â. È. Êóðäþìîâûì. Çíà÷èòåëüíûé íàó÷íûé âêëàä â ðàçâèòèå íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè âíåñ êðóïíûé ðóññêèé êðèñòàëëîãðàô è ãåîìåòð Å.Ñ. Ôåäîðîâ (1853-1919). Ñâîèìè òðóäàìè îí ñïîñîáñòâîâàë íå òîëüêî ðàçâèòèþ òåîðèè ãðóïï, íî è çàëîæåíèþ îñíîâ ìíîãîìåðíîé íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè. Ñî âòîðîé ïîëîâèíû ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ íà ðàçâèòèå íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè ñòàëà îêàçûâàòü çíà÷èòåëüíîå âëèÿíèå ïðîåêòèâíàÿ ãåîìåòðèÿ. Ïîíÿòèÿ ïðîåêòèâíîé ãåîìåòðèè äëÿ ïîñòðîåíèÿ íà÷åðòàòåëüíîé øèðîêî èñïîëüçîâàëè À. Ê. Âëàñîâ, Í. À. Ðûíèí è äðóãèå ñîâåòñêèå ìàòåìàòèêè.
(«Èñòîðèÿ ìàòåìàòèêè â øêîëå» Ã.È.Ãëåéçåð)
Âèäû ïðîåöèðîâàíèÿ
Ìåòîäîì íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè ÿâëÿåòñÿ ãðàôè÷åñêèé ìåòîä, îñíîâàííûé íà îïåðàöèè ïðîåöèðîâàíèÿ - áèíàðíàÿ êîíñòðóêòèâíàÿ ìîäåëü ïðîñòðàíñòâà, ïðîñòðàíñòâåííûõ ôîðì è îòíîøåíèé, ò.å. ìåòîä ïëîñêîñòíûõ (áèíàðíûõ, äâóìåðíûõ) ìîäåëåé ïðîñòðàíñòâ.
Íàì íåîáõîäèìî ñòðîèòü ïëîñêîñòíûå ìîäåëè ïðîñòðàíñòâ è ïî íèì óìåòü ðåøàòü ðàçíîîáðàçíûå ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è. Åñëè òð¸õìåðíûå ïðîñòðàíñòâåííûå ôîðìû ñôîðìèðîâàíû íà äâóõìåðíîé ïëîñêîñòè - ýòî ÷åðò¸æ. ×åðò¸æ - ýòî îïðåäåë¸ííàÿ ñîâîêóïíîñòü òî÷åê è ëèíèé íà ïëîñêîñòè. Íà÷åðòàòåëüíàÿ ãåîìåòðèÿ çàíèìàåòñÿ ïîñòðîåíèåì ÷åðòåæåé ïðîñòðàíñòâåííûõ ôîðì è îòíîøåíèé. Êàêèå æå äâóõìåðíûå ÷åðòåæè ìîãóò áûòü ìîäåëÿìè, êîòîðûå áû îòîáðàæàëè ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà, ïðîñòðàíñòâåííûå ôîðìû è îòíîøåíèÿ?
Òóò âîçíèêàåò äâà âîïðîñà:
Êàê îáðàçîâàòü, êàê ïîëó÷èòü òàêèå ìîäåëè? (Êàê ñòðîèòü òàêèå ÷åðòåæè, ÷òîáû îíè áûëè îòîáðàæåíèåì ïðîñòðàíñòâà)
×òî èçîáðàæàòü íà ýòîé ìîäåëè (÷åðòåæå), ÷òîáû ýòà ìîäåëü ìîãëà îòðàæàòü ïðîñòðàíñòâåííûå ôîðìû è îòíîøåíèÿ?
Îòâå÷àÿ íà ïåðâûé âîïðîñ, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êàæäûé ÷åðò¸æ ïîñòðîåí ïî ìåòîäó ïðîåêöèé. Ñóùåñòâóåò äâà âèäà ïðîåöèðîâàíèÿ: öåíòðàëüíîå è ïàðàëëåëüíîå.
Öåíòðàëüíîå ïðîåöèðîâàíèå.
Öåíòðàëüíîå ïðîåöèðîâàíèå - íàèáîëåå îáùèé ñëó÷àé ïîëó÷åíèÿ ïðîåêöèé ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð. Ñóùíîñòü åãî ñîñòîèò â ñëåäóþùåì:
Ðèñ.1 | Ïóñòü äàíû ïëîñêîñòü (òýòà) è òî÷êà S (ðèñ.1). Âîçüì¸ì â ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó A, ïðè÷¸ì A S A S. Íàì íóæíî ïîñòðîèòü öåíòðàëüíóþ ïðîåêöèþ òî÷êè À. Äëÿ ýòîãî ÷åðåç çàäàííûå òî÷êè S è A ïðîâåä¸ì ëó÷ [SA). Öåíòðàëüíîé ïðîåêöèåé òî÷êè À áóäåò òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëó÷à [SA) ñ ïëîñêîñòüþ . [SA) = A |
Ïëîñêîñòü íàçûâàþò ïëîñêîñòüþ ïðîåêöèé, òî÷êó S - öåíòðîì ïðîåêöèè, ïîëó÷åííóþ òî÷êó A - öåíòðàëüíîé ïðîåêöèåé òî÷êè À íà ïëîñêîñòü , [SA) - ïðîåöèðóþùèì ëó÷îì.
Àïïàðàò öåíòðàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ çàäàí, åñëè çàäàíî ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè ïðîåêöèé è öåíòðà ïðîåêöèé S. Åñëè àïïàðàò ïðîåöèðîâàíèÿ çàäàí, òî âñåãäà ìîæíî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå öåíòðàëüíîé ïðîåêöèè ëþáîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà íà ïëîñêîñòè ïðîåêöèé.
Íàïðèìåð: Äàíà òî÷êà B. Ïðîâåä¸ì ïðîåöèðóþùèé ëó÷ [SB) è îïðåäåëèì òî÷êó âñòðå÷è åãî ñ ïëîñêîñòüþ . Ýòî è åñòü öåíòðàëüíàÿ ïðîåêöèÿ B òî÷êè B ïðè çàäàííîì àïïàðàòå ïðîåöèðîâàíèÿ (,S).
Åñëè òî÷êà Ñ ðàñïîëîæåíà òàê, ÷òî ïðîåöèðóþùèé ëó÷ [SÑ) , òî îí ïåðåñå÷¸ò ïëîñêîñòü ïðîåêöèé â íåñîáñòâåííîé òî÷êå Ñ.
Ïðè çàäàííîì àïïàðàòå ïðîåöèðîâàíèÿ (,S) êàæäàÿ òî÷êà ïðîñòðàíñòâà áóäåò èìåòü îäíó è òîëüêî îäíó öåíòðàëüíóþ ïðîåêöèþ (ò.ê. ÷åðåç äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè îäíó è òîëüêî îäíó ïðÿìóþ). Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå èìååò ñìûñëà, òàê êàê òî÷êà A ìîæåò áûòü öåíòðàëüíîé ïðîåêöèåé ëþáîé òî÷êè, ïðèíàäëåæàùåé ïðÿìîé (AS) (Íàïðèìåð öåíòðàëüíûå ïðîåêöèè òî÷åê A è D ñîâïàäàþò).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îäíà öåíòðàëüíàÿ ïðîåêöèÿ òî÷êè íå îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå.
Ðèñ.2 | Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå íåîáõîäèìî èìåòü äâå öåíòðàëüíûå ïðîåêöèè òî÷êè, ïîëó÷åííûå èç äâóõ ðàçëè÷íûõ öåíòðîâ ïðîåöèðîâàíèÿ (ðèñ.2). |
Äîñòîèíñòâî öåíòðàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ - íàãëÿäíîñòü. Íåäîñòàòîê - ñòåïåíü èñêàæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ çàâèñèò îò ðàññòîÿíèÿ öåíòðà ïðîåêöèé äî ïëîñêîñòè ïðîåêöèé, ïîýòîìó öåíòðàëüíîå ïðîåöèðîâàíèå íåóäîáíî äëÿ ïðîñòàíîâêè ðàçìåðîâ.
 ìàøèíîñòðîèòåëüíîì ÷åð÷åíèè ïðèìåíÿåòñÿ ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå.
Ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå.
Ïàðàëëåëüíîå ïðîåöèðîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì öåíòðàëüíîãî ïðîåöèðîâàíèÿ, êîãäà öåíòð ïðîåêöèé ëåæèò â íåñîáñòâåííîé òî÷êå S, ïîýòîìó âñå ïðîåöèðóþùèå ëó÷è ïàðàëëåëüíû.