Крассворд по химии от слова Электрон

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова

Государственный университет Молдовы

Курсовая Работа

Тема: Электрон в слое.

Работу выполнил

студент 3-го курса:

Радченко Андрей

Кишинёв 1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x, и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

i -?²/(2m)?¶²/¶x² + U₀ , x < -a

U i

H = i -?²/(2m₀)?¶²/¶x² , -a < x < a

i -?²/(2m)?¶²/¶x² + U₀ , x > a

Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;

m₀ - эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

i ¶²Y_I/¶x² + 2m/?²?(E - U₀)Y_I = 0 , x ? -a

i ¶²Y_II/¶x² + 2m₀/?²?E?Y_I = 0 , -a ? x ? a

i ¶²Y_III/¶x² + 2m/?²?(E - U₀)?Y_I = 0 , x ? a

[image]

Область I :

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

Y_I(x) = A?exp(n?x) + B?exp(-n?x).

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,

Y_I(x) = A?exp(n?x).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

Y_II(x) = C?exp(i?k?x) + D?exp(-i?k?x).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

Y_III(x) = F?exp(-n?x).

Где

k = (2m₀?E/?²)^1/2

n = (2m?(U₀-E)/?²)^1/2.

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

Y_I(x=-a) = Y_II(x=-a)

Y_II(x=a) = Y_III(x=a)

Y_I?(x=-a)/m = Y_II?(x=-a)/m₀

Y_II?(x=a)/m₀ = Y_III?(x=a)/m

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

A?exp(-n?a) = C?exp(-i?k?a) + D?exp(i?k?a)

m^-¹?A? n?exp(-n?a) = i?k?/m₀?(C?exp(-i?k?a) - D?exp(i?k?a))

C?exp(i?k?a) + D?exp(-i?k?a) = F?exp(-n?a)

i?k?/m₀?(C?exp(i?k?a) - D?exp(-i?k?a)) = - n/m?F?exp(-n?a).

Теперь составим определитель :

|exp(-n?a) -exp(-i?k?a) -exp(i?k?a) 0 |

|m^-¹?n?exp(-n?a) -1/m₀?i?k?exp(-i?k?a) 1/m₀?i?k?exp(i?k?a) 0 |

|0 exp(i?k?a) exp(-i?k?a) -exp(-n?a) |

|0 1/m₀?i?k?exp(i?k?a) -1/m₀?i?k?exp(-i?k?a) 1/m?n?exp(-n?a)|

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)² - (k/m₀)²)?Sin(2?k?a) + 2?k?n/(m?m₀)?Cos(2?k?a) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = F?exp(-n?a)?{exp(i?k?a) + exp(-3?i?k?a) ?( i?k/m₀ - n/m)/(n/m + i?k/m₀)}

D = C?exp(-2?i?k?a)?( i?k/m₀ - n/m)/(n/m + i?k/m₀)

A = exp(n?a)?(C?exp(-i?k?a) + D?exp(i?k?a)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = R_A?F

C = R_C?F

D = R_D?F.

R_A, R_C, R_D - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

Y_I(x) = F?R_A?exp(n?x)

Y_II(x) = F?( R_C?exp(i?k?x) + R_D?exp(-i?k?x)).

Y_III(x) = F?exp(-n?x).

I₁ + I₂ + I₃ = 1

Где

I₁ = |F|²?|R_A|²?o_Qexp(2?n?x)?dx = |F|²?|R_A|₂?(2?n)^-¹?exp(2?n?x) =

= |F|²?|R_A|²?(2?n)^-¹?exp(-2?n?a)

I₂ = |F|²?{ o_L|R_C|²?dx + o_L|R_D|²?dx + R_C?R_D^*?o_Lexp(2?i?k?x)?dx +

+ R_C^*?R_D?o_Lexp(-2?i?k?x)?dx } = |F|²?{ 2?a?(|R_C|² + |R_D|²) +

((exp(2?i?k?a) - exp(-2?i?k?a))?R_C?R_D^*/(2?i?k) +

+ i?((exp(-2?i?k?a) - exp(2?i?k?a))?R_C^*?R_D/(2?k) }

I₃ = |F|²?o_Wexp(-2?n?x)?dx = |F|²?(2?n)^-¹?exp(-2?n?a)

|F|² = { |R_A|²?(2?n)^-¹?exp(-2?n?a) + 2?a?(|R_C|² + |R_D|²) +

((exp(2?i?k?a) - exp(-2?i?k?a))?R_C?R_D^*/(2?i?k) +

+ i?((exp(-2?i?k?a) - exp(2?i?k?a))?R_C^*?R_D/(2?k) + (2?n)^-¹?exp(-2?n?a) }^-¹.

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

[image]

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U(x)=U(x+2a) (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

¶²Y/¶x² + 2m/?²?(E - U₀)Y = 0

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

r = exp(i 2ak)

Тогда Y(x+2ma) = Y(x)?r^m , где m=0, ±1, ±2,... (2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U₀) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶²Y_I/¶x² + 2m₂/?²?(E - U₀)Y_I = 0 , 0 > x > -a

его решение выглядит просто:

Y_I(x) = A?exp(n?x) + B?exp(-n?x).

Где n = (2m₂ (U₀-E) /?²)^1/2

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶²Y_II/¶x² + 2m₁/?²?E Y_II = 0 , a ? x ? 0

его решение выглядит просто:

Y_II(x) = C?exp(i?p?x) + D?exp(-i?p?x).

Где p = (2m₁E/?²)^1/2

Рассмотрим область III:

¶²Y_III/¶x² + 2m₂/?²?(E - U₀)Y_III = 0 , 2a > x > a

его решение выглядит просто:

Y_III(x) = r (A?exp(n?x) + B?exp(-n?x)).

Запишем граничные условия:

Y_I(x=0) = Y_II(x=0)

Y_II(x=a) = Y_III(x=a)

Y_I?(x=0)/m = Y_II?(x=0)/m₀

Y_II?(x=a)/m₀ = Y_III?(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m₂ = (C-D) i p / m₁

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m₁ = exp(i 2 a k) n/m₂ (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1 1 -1 -1 |

|exp(i?k?2a+n?a) exp(i?k?2a-n?a) -exp(i?p?a) -exp(-i?p?a) |

|n/m₂ -n/m₂ -i?p/m₁ i?p/m₁ |

|n/m₂exp(i?k?2a+n?a) -n/m₂?exp(i?k?2a-n?a) - i?p/m₁?exp(i?p?a) i?p/m₁?exp(-i?p?a) |

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10; U=10; m₁=4; m₂=1

0.1135703312666857	0.6186359585387896	0.2019199605676639
0.3155348518478819	0.05047267055441365	1.263391478912778
0.4544326758658974	2.137353840637548	0.808172718170137
2.479933076698526	0.4544326758658974	6.168062551132728
5.611693924351967	1.820461802850339	1.529165865668653
1.023077302091622

a=10 U=10 m₁=2 m₂=1

0.1032788024178655	0.2324238959628721	0.41331603936642
0.6460490460448886	0.930750939555283	1.26759057783714
1.656787195799296	2.098624192369327
2.593469359607937	3.141805331837109
3.744277072860902	5.887485640841992

a=10 U=10 m₁=1 m₂=1

0.05408120469105441	0.2163802958297131	0.4870681554965061
0.86644533469418	1.354969224117534	1.953300729714778
2.662383817919513	4.418966218448088	7.961581805911094

a=10 U=10 m₁=0.5 m₂=1

0.118992095909544	4.249561710930034	1.068004282376146
0.4754473139332004	5.78216724725356	2.955345679469631
1.895012565781256

a=10 U=10 m₁=.25 m₂=1

0.2898665804439349	4.30026851446248
2.479039415645616	1.132264393019809

Крассворд по химии от слова Электрон

Похожие курсовые работы