Геометрия Центральня симметрия презентация

Симметрия и принципы инвариантности в физике

В. И. Черепанов

Мы с готовностью воспринимаем лишь те физические теории, которые обладают изяществом.

А. Эйнштейн

Слово "симметрия" ("symmetria") имеет греческое происхождение и означает "соразмерность". В повседневном языке под симметрией понимают чаще всего упорядоченность, гармонию, соразмерность. Гармоничная согласованность частей и целого является главным источником эстетической ценности симметрии [1-4]. Кристаллы издавна восхищали нас своим совершенством, строгой симметричностью форм. Симметричные мозаики, фрески, архитектурные ансамбли будят в людях чувство прекрасного, музыкальные и поэтические произведения вызывают восхищение именно своей гармоничностью. Таким образом, можно говорить о принадлежности симметрии к категории прекрасного.

Научное определение симметрии принадлежит крупному немецкому математику Герману Вейлю (1885-1955), который в своей замечательной книге "Симметрия" [1] проанализировал также переход от простого чувственного восприятия симметрии к ее научному пониманию. Согласно Вейлю, под симметрией следует понимать неизменность (инвариантность) какого-либо объекта при определенного рода преобразованиях. Можно сказать,что симметрия есть совокупность инвариантных свойств объекта. Например, кристалл может совмещаться с самим собой при определенных поворотах, отражениях, смещениях. Многие животные обладают приближенной зеркальной симметрией при отражении левой половины тела в правую и наоборот. Однако подчиняться законам симметрии может не только материальный, но и, к примеру, математический объект. Можно говорить об инвариантности функции, уравнения, оператора при тех или иных преобразованиях системы координат. Это в свою очередь позволяет применять категорию симметрии к законам физики. Так симметрия входит в математику и физику, где она также служит источником красоты и изящества.

Постепенно физика открывает все новые виды симметрии законов природы: если вначале рассматривались лишь пространственно-временные (геометрические) виды симметрии, то в дальнейшем были открыты ее негеометрические виды (перестановочная, калибровочная, унитарная и др.). Последние относятся к законам взаимодействий, и их объединяют общим названием "динамическая симметрия".

Принципы инвариантности играют очень важную роль в современной физике: с их помощью обоснованы старые и предсказаны новые законы сохранения, облегчено решение многих фундаментальных и прикладных задач и, что особенно важно, удалось добиться первых успехов на пути объединения фундаментальных взаимодействий. Эти принципы обладают большой общностью. Выдающийся американский физик-теоретик Ю. Вигнер [5] отметил, что эти принципы относятся к законам природы так же, как законы природы относятся к явлениям, т.е. симметрия "управляет" законами, а законы "управляют" явлениями. Если бы не было, например, инвариантности законов природы относительно смещений в пространстве и времени, то вряд ли наука вообще смогла бы устанавливать эти законы.

Читателям, интересующимся общенаучным и философским значением симметрии, можно порекомендовать уже упоминавшуюся книгу Г. Вейля [1] , а также ряд статей и лекций Ю. Вигнера, собранных в его книге "Этюды о симметрии" [5]. На широкий круг читателей рассчитана брошюра А. Компанейца [6]. Для более подготовленных читателей рекомендуем учебную [7-9] и монографическую [10-12] литературу.

Целью настоящей статьи является краткое популярное изложение основных понятий теории симметрии и принципов инвариантности в современной физике.

1. Пространственно-временные виды симметрии

[image]

Рисунок. Оси симметрии куба

Наиболее наглядным видом симметрии является пространственная (геометрическая) симметрия, которая имеет ряд разновидностей: вращательная, зеркальная, трансляционная и др. Например, шар (или сфера) обладает полной вращательной симметрией, т.е. вращение шара вокруг любой оси, проходящей через его центр, на любой угол j не меняет положения шара в пространстве; конус имеет полную одноосную симметрию; куб - три оси симметрии 4-го порядка (с поворотами на углы, кратные 2 p/4 ), шесть осей симметрии 2-го порядка ( j=2p/2) и четыре оси симметрии 3-го порядка ( j=2p/3 ) (см. рис.). Шар, конус и куб имеют еще плоскости симметрии (первые два - бесконечное число, а куб - девять плоскостей симметрии).

Особым видом симметрии является инверсионная симметрия, при которой каждая точка объекта с радиус-вектором r преобразуется в точку с радиус-вектором -r (при этом радиус-вектор исходит из центра инверсии).

Заметим, что вместо преобразований самого объекта можно производить соответствующие преобразования системы координат: если после преобразования объект в новой системе координат занимает то же положение, что и в старой, то такое преобразование координат есть преобразование симметрии объекта. Такое определение операций симметрии удобнее, когда мы имеем дело с математическими объектами. Если математический объект (функция, оператор, уравнение) остается инвариантным при определенном преобразовании координат, то это преобразование считается преобразованием (операцией) симметрии этого объекта. Например, функции f = f(x2+y2+z2) и j(x2+y2) обладают в трехмерном пространстве: первая - сферической, а вторая - аксиальной симметрией.

Совокупность операций симметрии любого объекта образует группу симметрии этого объекта, основное свойство элементов которой состоит в том, что последовательное применение двух операций симметрии g1 и g2 есть опять-таки операция симметрии g3 этого объекта (называемая произведением этих операций g3=g1 x g2 ). Кроме того, для каждой операции симметрии g в этой же совокупности имеется обратная операция g-1 , переводящая объект в первоначальное положение, т.е. gg-1=E - тождественное преобразование. Выполняется также закон ассоциативности (g1g2)g3=g1(g2g3 ). Заметим, что в общем случае g1g2?g2g1 (напр., если это повороты вокруг разных осей). Если же для всех элементов группы g1g2=g2g1 , то группа называется абелевой. Часть элементов группы, вновь обладающая всеми свойствами группы, называется подгруппой.

Вращательные операции симметрии шара (сферы) образуют группу вращений R, конуса - группу Cµ , куба - группу O.

Все элементы группы симметрии можно разбить на классы сопряженных элементов, отнеся в каждый класс повороты вокруг эквивалентных осей симметрии или отражения в эквивалентных плоскостях симметрии (эквивалентными называются оси или плоскости, которые могут быть переведены друг в друга с помощью каких-либо операций симметрии из этой же группы). Например, группа симметрии куба O имеет 5 классов: E ,6C4, 3C42, 6C2, 8C3 .

Из сказанного ясно, что можно говорить о симметрии физических законов, коль скоро последние выражаются математическими уравнениями. Например, закон всемирного тяготения гласит, что сила взаимного притяжения двух тел пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Следовательно, сила притяжения не зависит от положения этой пары в пространстве, а только от расстояния между телами. Это означает, что данный закон инвариантен относительно переноса или вращения этой пары тел в целом (или, с математической точки зрения, относительно переноса или вращения системы координат). Это не было бы так, если бы пространство не было однородным и изотропным. Такая переносная (трансляционная) симметрия является еще одной разновидностью пространственной симметрии.

Другой разновидностью симметрии выступает инвариантность физических законов относительно сдвигов во времени. Правда, согласно представлениям современной космологии, в истории развития Вселенной, по-видимому, были периоды радикальных изменений, однако эти изменения объяснимы с позиций более общих законов, остающихся неизменными с течением времени.

Менее очевидной является инвариантность физических законов при переходе от одной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой прямолинейно и равномерно. Однако эксперименты показывают, что невозможно установить, которая из этих систем отсчета покоится, а которая движется. Этот факт лег в основу специальной теории относительности, согласно которой физические законы должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. Последние включают специальные преобразования не только координат, но и времени. Эту разновидность симметрии физических законов также можно отнести к разряду геометрических (имея в виду четырехмерную геометрию Минковского).

Выше уже говорилось об инверсионной симметрии. Но обладают ли такой симметрией физические законы? Долгое время считалось, что обладают, пока опыты китаянки Цзяньсюн Ву (США) по изучению b-распада ориентированных в магнитном поле ядер кобальта 60Co, проведенные в 1957 г., не показали, что на слабые взаимодействия 1 инверсионная симметрия не распространяется. Однако для большинства физических законов инверсионная симметрия соблюдается.

Подчеркнем следующее важное обстоятельство. Если какое-либо уравнение инвариантно относительно определенных операций симметрии, то это не означает, что все его решения обладают такой же симметрией (хотя для части решений это возможно). Дело в том, что на формирование решений влияют еще начальные и граничные условия. Например, несмотря на то, что гравитационное поле Солнца можно считать сферически симметричным, планеты движутся вокруг Солнца не по круговым, а по эллиптическим траекториям. Другой пример - кристалл, инвариантный при дискретных трансляциях (кратных постоянным решетки), хотя электрические силы, действующие между его атомами, не меняются при любых смещениях кристалла в целом. Симметрия материальных структур, образуемых за счет фундаментальных взаимодействий, может быть намного ниже, чем симметрия последних. Учитывая это, можно говорить о структурной симметрии материальных объектов. Априорное определение возможных видов симметрии устойчивых материальных структур часто представляет собой трудную проблему.

Между тем структурная симметрия равновесного расположения атомов в молекулах или кристаллах играет важную роль в формировании решений основного уравнения квантовой механики (уравнения Шредингера) для состояний более легкой подсистемы электронов в поле тяжелых ядер атомов. Операции структурной симметрии могут переставлять местами только однотипные атомы, не меняя расположения структуры в пространстве. К группам структурной симметрии относятся, например, точечные группы 2 симметрии молекул, пространственные и точечные кристаллографические группы симметрии. Известны 32 точечные и 230 пространственных групп симметрии кристаллов. Первые описывают симметрию окружения для той или иной позиции в кристалле. Вторые, кроме поворотов вокруг осей симметрии, отражений в плоскостях симметрии, инверсионных преобразований кристалла, включают еще дискретные трансляции кристалла. 32 точечные кристаллографические группы были выведены Гесселем в 1830 г., а 230 пространственных групп - известным русским кристаллографом Е.Федоровым и немецким ученым А.Шенфлисом в 1891 г. Интересно, что это было сделано еще до открытия атомной структуры кристаллов.

2. Представления групп симметрии и их роль в квантовой теории

Несмотря на то, что симметрия уравнения, как отмечалось выше, не всегда присуща решениям этого уравнения, она тем не менее существенно влияет на характер решений. Чтобы понять, в чем заключается это влияние, поясним сначала понятия приводимых и неприводимых представлений групп симметрии.

Рассмотрим преобразование декартовых координат x,y,z и их произведений x 2, y 2, z 2, yz, xz, xy под действием операций группы O(см. выше).

Нетрудно заметить, что преобразуются под действием операций группы O сами через себя 3 . Вторая совокупность также обладает этим свойством, но в отличие от первой из исходных x 2, y 2, z 2, yz, xz, xy можно составить новые линейные комбинации, которые разбиваются на подсовокупности, преобразующиеся независимо друг от друга. Говорят, что совокупность первого типа образует базис неприводимого представленияГ 4 группы O, а совокупность второго типа - базис приводимого представления Г, которое , однако, раскладывается на сумму неприводимых:

jo=x 2+y 2+z 2®Г 1,

{ j1= 2z 2-x 2-y 2; j2= O`3(x 2-y 2)} ®Г 3,

{ Y1= yz; Y2= xz; Y3 = xy;} ®Г 5,

т. е. Г=Г 1+Г 3+Г 5 ,

(6) (1) (2) (3) ,

где внизу, в скобках, написаны размерности представлений (т.е. числа базисных функций).

Если обозначить базисные функции представления Гa через YГa (где индекс m нумерует базисные функции), то результат действия операции G группы на базисную функцию можно записать в виде:

[image]

где f - размерность представления Гa . Представления группы фактически образуют матрицы D(Гa )(g) , ибо, как можно легко показать, они имеют тот же закон умножения, что и элементы группы g, которые они представляют. Каждой группе принадлежит бесконечно много представлений, однако число неприводимых представлений всегда равно числу классов. Например, группа O включает 5 классов: E, 6C 42, 6C 2, 8C 3 и, следовательно, имеет 5 неприводимых представлений, которые обозначают Г 1, Г 2, Г 3, Г 4, Г 5 .

Неприводимые представления групп симметрии играют важнейшую роль в квантовой физике. Решение уравнения Шредингера для стационарного случая

( 2 )

H Y=E Y

(где H- оператор Гамильтона, Y - волновая функция системы, E- значение полной энергии) при определенных граничных условиях приводит к набору разрешенных значений энергии (энергетическому спектру) и волновых функций.

В случае существования нескольких линейно независимых волновых функций для одного и того же энергетического уровня говорят о вырождении этого уровня, а число независимых волновых функций (состояний), принадлежащих этому уровню, называют кратностью вырождения. Если уравнение (2) инвариантно относительно преобразований некоторой группы симметрии G H , то волновые функции, являющиеся решениями этого уравнения и принадлежащие одному энергетическому уровню, будут обязательно составлять базис неприводимого представления группы G H . Это утверждение составляет содержание теоремы Вигнера, имеющей, правда, оговорку о случайных вырождениях, на которой мы останавливаться не будем.

Отсюда следует, что энергетические уровни квантовой системы можно классифицировать по неприводимым представлениям группы симметрии. Иными словами, симметрия вызывает объединение квантовых состояний в группы (мультиплеты), относящиеся к энергетическим уровням, каждый из которых характеризуется неприводимым представлением группы симметрии.

Использование представлений групп симметрии позволяет очень просто устанавливать так называемые правила отбора для квантовых переходов между энергетическими уровнями под действием разного рода нестационарных возмущений (напр., под действием света), что очень важно для оптической спектроскопии. Кроме того, применение представлений групп симметрии существенно облегчает рассмотрение влияний стационарных внешних воздействий (электрических, магнитных полей, механических напряжений и т.д.), к примеру, на оптические спектры квантовых систем. Дело в том, что "включение" внешнего воздействия изменяет симметрию задачи (обычно симметрия понижается от группы G H до одной из ее подгрупп G" ). Между тем, представление Г, неприводимое в группе GH , может стать приводимым в подгруппе G":

(3)

Г=?j cjГj ,

что означает расщепление энергетического уровня типа Г на ряд подуровней, характеризуемых неприводимыми представлениями Г j группы G". Это влечет за собой расщепление соответствующих линий, полос в оптическом спектре (так называемые эффекты Штарка, Зеемана, пьезоспектроскопические явления и т.д.). Проводя разложение (3), мы сразу узнаем, на сколько подуровней и какого типа расщепится данный уровень. Соответствующие разложения легко проводятся с использованием таблиц характеров неприводимых представлений групп симметрии (см. [7-9]).

3. Негеометрические виды симметрии

Физические законы могут обладать свойствами симметрии иного рода, нежели рассмотренные выше. Например, в квантовой теории важную роль играет так называемая перестановочная симметрия, т.е. инвариантность уравнения Шредингера относительно перестановок одинаковых частиц 4 . Важнейшим следствием перестановочной симметрии является существование двух классов частиц: бозонов и фермионов, существенно различающихся по своим свойствам. К первым относятся частицы с целым спином (в единицах h=h/(2p) , где h- постоянная Планка), а ко вторым - с полуцелым.

Волновые функции двух состояний системы частиц, различающихся перестановкой P одинаковых частиц, физически эквивалентны, т.е. функции Y и P Y могут отличаться только несущественным фазовым множителем:

(4)

PY=exp(ia) Y .

Отсюда, с одной стороны, P2Y=exp(2ia)Y , а с другой - P2=1, т.е. exp(2ia)=1. Тогда exp(ia)=±1, и (4) запишется:

P Y= ±Y .

Следовательно, волновая функция системы одинаковых частиц должна быть симметричной P Y=+ Y (бозоны) или антисимметричной PY=-Y (фермионы).

Выдающийся швейцарский физик-теоретик Вольфганг Паули (1900-1958) установил связь перестановочной симметрии со спином частиц: частицы с целым спином - бозоны, а с полуцелым - фермионы. Он же показал, что фермионы должны подчиняться принципу запрета (широко известному сейчас как принцип Паули): два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Очевидно, что перестановка фермионов в одном и том же состоянии не меняла бы волновую функцию PY=Y , но, с другой стороны, ввиду антисимметричности волновой функции системы фермионов PY=-Y . Следовательно, Y=-Y=0, т.е. такие состояния не могут существовать.

Принцип Паули, как известно, служит ключом к объяснению периодического закона Д.И. Менделеева. Если бы не выполнялся принцип Паули, то все электроны любого атома перешли бы в наинизшее по энергии 1s-состояние, что привело бы к потере того разнообразия химических свойств атомов, которое наблюдается в природе. Это как нельзя лучше иллюстрирует важное значение перестановочной симметрии.

К не менее значимому виду симметрии можно отнести калибровочную симметрию уравнений электродинамики и релятивистской квантовой механики (уравнений Дирака). Суть ее заключается в следующем: если умножение волновой функции на постоянный фазовый множитель exp(ia) не меняет уравнение Дирака, то умножение ее на переменный фазовый множитель exp(ia(x,y,z,t)) (так называемое локальное калибровочное преобразование) приводит к его изменению. В уравнении появляются дополнительные слагаемые, происходящие от дифференцирования a(x,y,z,t) по координатам и времени. Если, однако, постулировать принцип локальной калибровочной инвариантности, то можно скомпенсировать дополнительные слагаемые, вводя взаимодействие с некоторым векторным полем. Последнее по своим свойствам оказывается тождественным электромагнитному полю, которое подчиняется уравнениям Дж. Максвелла. Получается, что уравнения Максвелла можно вывести из принципа локальной калибровочной симметрии! Поэтому электромагнитное поле можно назвать калибровочным полем для электронов. Кванты этого поля (фотоны) являются переносчиками электромагнитного взаимодействия между электронами. Они, как известно, имеют спин, равный 1 (в единицах h ) и массу покоя, равную 0. Эти два свойства присущи любым калибровочным полям (см. ниже).

Китайский физик Ч.Янг и американец Р. Миллс попытались распространить принцип локальной калибровочной инвариантности на сильные взаимодействия. Для сильных взаимодействий адронов5 еще в 30-х гг. была установлена глобальная изотопическая инвариантность, основанием для которой послужила возможность объединить часть адронов в семейства "похожих" частиц. Частицы каждого семейства имеют одинаковые внутренние характеристики: спин, четность, барионный заряд, странность, очарование, красоту (исключая электрический заряд) и примерно одинаковые массы. Такие семейства адронов называют изомультиплеты. Наиболее известные из них - изодублет барионов: протон-нейтрон n,p и изотриплет мезонов: p+,po,p- .

Если вспомнить о релятивистской связи между энергией и массой E=mc2 , то частицы одинаковой массы, сходные по своим свойствам с точки зрения сильных взаимодействий, можно рассматривать как одну частицу, находящуюся в разных квантовых состояниях (но с одной и той же энергией). Следовательно, по теореме Вигнера, эти частицы можно отнести к определенному неприводимому представлению группы симметрии сильных взаимодействий. Проблема состоит в том, чтобы правильно определить эту группу симметрии.

Подобно тому, как для атома из двух базисных состояний спина s=1/2 с проекцией спина на выделенное направление ms=±1/2 , можно путем векторного сложения спинов построить спиновые мультиплеты с квантовым числом полного спина S=0,1/2,1,3/2,2...(соответственно с мультиплетностью 2S+1=1,2,3,4,5...), возможные изомультиплеты нестранных адронов могут быть найдены из двух базисных состояний u и d с проекциями изоспина mT=±1/2 соответственно. Эти изомультиплеты характеризуются квантовым числом полного изоспина T и его (2T+1)-й проекциями mT= =T,-T+1,-T+2...+T. С математической точки зрения, состояния ms=±1/2, как и состояния (u, d), образуют базис так называемого фундаментального представления d(1/2) группы SU(2)6 , и последовательное перемножение d(1/2) x d(1/2) x...x d(1/2) с последующим разложением на неприводимые представления D(s) (или T ) дает значения (или ) в мультиплетах.

Если в случае одной волновой функции Y глобальное калибровочное преобразование заключается в простом умножении на экспоненциальный множитель Y"=exp(ia)Y , то для двух состояний глобальное калибровочное преобразование имеет вид:

(5)

[image]

где матрица коэффициентов aik обладает специальными свойствами7 . Набор этих матриц совпадает с известными из теории спиноров матрицами D(1/2)(j,Y,q), описывающими преобразования спиновых функций ( c-1/2,c+1/2 ) при вращении системы координат, задаваемом углами Эйлера j,Y,q . Поэтому глобальное калибровочное преобразование (5) можно интерпретировать как вращение в некотором внутреннем изоспиновом пространстве.

Однако попытка Ч. Янга и Р.Миллса рассматривать адроны как состоящие из двух фундаментальных частиц u и d не удалась. Двух базисных состояний для построения всех наблюдаемых адронов оказалось недостаточно. Поэтому американские физики М.Гелл-Ман и У.Нейман обратились к группе SU(3) унитарных преобразований трех фундаментальных состояний u,d,s. Эти состояния и сопряженные им `u, `s, `d М.Гелл-Ман и Дж.Цвейг интерпретировали как действительно элементарные частицы-кварки и антикварки соответственно. Если приписать кваркам дробные электрические заряды ( +2/3,-1/3,-1/3 для u,d,s соответственно, и противоположные по знакам для антикварков `u, `s, `d), а также определенные значения спина , странности, барионного заряда, изоспина и его проекции, то из них можно построить большинство из известных адронов.

Группа SU(3) кроме трехмерных неприводимых фундаментальных представлений имеет ряд неприводимых представлений с размерностями 1,6,8,10... Это вполне согласуется с существованием синглетов, октетов и декуплетов частиц-адронов с близкими массами и одинаковыми спинами (в пределах каждого мультиплета) 8 . Некоторый разброс значений масс в мультиплетах, как выяснилось позднее, связан с тем, что симметрия SU(3) f 9 на самом деле является приближенной.

В плане классификации адронов успех гипотезы SU(3) f и кварков был несомненным. Особенно большое впечатление произвело теоретическое предсказание М.Гелл-Маном бариона W-, который заполнил пустое место в одном из декуплетов. Гелл-Ман предсказал также примерную массу этой частицы - 1675 МэВ (в энергетических единицах) и странность S= -2. Спустя полтора года эта частица действительно была обнаружена экспериментально с массой 1672 МэВ и странностью S= -2. С этого момента классификация адронов на основе приближенной унитарной симметрии SU(3) f стала общепризнанной, а М.Гелл-Ман в 1969 г. был удостоен Нобелевской премии по физике.

Однако наряду с успехами унитарной классификации адронов возник ряд новых проблем, например, существование некоторых барионов D++=( u,u,u); D-=( d,d,d); W-=( s,s,s), кварковый состав которых (в частности, барионов , про-тиворечил принципу Паули, согласно которому в одном и том же состоянии могут находиться не более двух фермионов с противоположными спинами (см. выше). Другая трудность связана с неудачами попыток обнаружения свободных кварков.

Для преодоления первой трудности пришлось ввести еще одну квантовую характеристику кварков, которая может принимать три значения. Эта величина получила название цветовой заряд (или просто цвет), а три ее значения условно назвали красным, желтым и синим оттенками. Цвет как фундаментальная характеристика кварков был введен российскими учеными Н.Боголюбовым, Б.Струминским и А.Тавхелидзе, а также, независимо от них, - Й.Намбу (США) в 1965 г. Три кварка, входящие в приведенные выше частицы D++; D-; W-, имеют разный цветовой заряд, т.е. находятся в разных состояниях , и потому не нарушается принцип Паули. Комбинация ( q r,q y,q b ) составляет "бесцветный" синглет. Антикварки имеют антикрасный, антижелтый или антисиний цвета. Барионы состоят из трех кварков разного цвета. Мезоны, состоящие из кварка и одноименного антикварка, также "бесцветны", как и барионы.

Введение цвета привело к открытию еще одного вида симметрии для сильного взаимодействия описываемой вновь группой SU(3) С . Однако в этом случае роль трех фундаментальных состояний играют три цвета, что и отражено индексом (от "color" - цвет). В отличие от SU(3) f симметрия SU(3) c является точной. Последняя включает глобальные калибровочные (унитарные) преобразования цветовых состояний при фиксированных ароматах кварков. Придание статуса локальных этим пробразованиям приводит к калибровочным полям, описывающим сильные взаимодействия между кварками. Эти поля получили название глюонных (от "glue" - клей).

Итак, подобно тому, как электрические заряды являются источниками электромагнитного поля, цветовые заряды порождают глюонное поле. Если переносчиками первого являются фотоны, то второго - глюоны. И те и другие электрически нейтральны и безмассовы, но глюоны обладают цветовым зарядом. Из свойств группы симметрии SU(3) c вытекает существование восьми типов глюонов. Наличие цветовых зарядов у них придает сильным взаимодействиям совершенно необычные свойства, проявляющиеся , в частности, в том, что сила взаимодействия между кварками убывает при уменьшении и растет при увеличении расстояния между ними 10 . Это, по-видимому, является причиной "пленения" кварков внутри адронов, что и объясняет неудачи попыток обнаружения свободных кварков.

Теория сильных взаимодействий, опирающаяся на представление о цветовых зарядах, получила название квантовой хромодинамики. Эта теория практически завершена для малых расстояний между кварками, но для больших расстояний еще имеются трудности.

Тем не менее применение принципов глобальной и локальной унитарной симметрии способствовало существенному продвижению в области классификации адронов и описания сильных взаимодействий. Вместе с тем имеется еще ряд проблем на этом пути. Так, для классификации и описания взаимодействий наиболее тяжелых и короткоживущих адронов (так называемых резонансов) потребовалось ввести еще три кварка, получивших названия c,b,t. Вместе с лептонами кварки образуют три поколения элементарных частиц:

u	c	t
d	s	b
ne	n m	n t
e	m	t

u, d, c, s, t, b- кварки,

n i -нейтрино

e-электрон

m,t-<57>=K

(0=0;>38G=> A;54C5B @0718BL 8 0=B8G0AB8FK). <55BAO B5>@5B8G5A:>5 >1>A=>20=85 B>3>, GB> G8A;> ?>:>;5=89 4>;6=> 8AG5@?K20BLAO B@52B>@5=8O ?>:>;5=89 ?@54AB02;ONB A>1>9 3;02=CN 70304:C D878:8 M;5<5=B0@=KE G0AB8F. >7<>6=>, >=8 2=>2L C:07K20NB =0 A>AB02=>9 E0@0:B5@ MB8E G0AB8F 8 =0 =>2CN, 1>;55 3;C1>:CN A8<<5B@8N.

4. !:@KB0O A8<<5B@8O 8 >1J548=5=85 M;5:B@><03=8B=KE 8 A;01KE 2708<>459AB289

@C?=K< 4>AB865=85<, ?>;CG5==K< =0 >A=>25 ?@8=F8?0 ;>:0;L=>9 :0;81@>2>G=>9 8=20@80=B=>AB8, AB0;> @0728B85 0<5@8:0=A:8<8 D878:0<8 !B825=>< 09=15@3><, (5;4>=>< ;MH>C 8 ?0:8AB0=A:8< CG5=K< 14CA>< !0;0<>< B5>@88, >1J548=ONI59 M;5:B@><03=8B=>5 8 A;01>5 2708<>459AB28O (02B>@K MB>9 B5>@88 1K;8 C4>AB>5=K >15;52A:>9 ?@5<88 ?> D878:5 2 1979 3.).

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t ?@8 M=5@388, B@51C5<>9 4;O @>645=8O 28@BC0;L=>9 G0AB8FK, DE=m oc 2 (345 m o - <0AA0 ?>:>O G0AB8FK, c - A:>@>ABL A25B0) =0E>48< "2@5 2@565B "?@>1560BL" <0:A8<0;L=>5 @0AAB>O=85 r »Dt» h/moc. !;54>20B5;L=>, @048CA 459AB28O A8; A2O70= A <0AA>9 ?5@5=>AG8:>2 MB8E A8; >1@0B=> ?@>?>@F8>=0;L=>9 7028A8<>ABLN. A;8 4;O M;5:B@><03=8B=KE 2708<>459AB289 mo=0, r= (40;L=>459AB2CNI85 A8;K), B> 4;O A;01KE 2708<>459AB289 r»10-15A< (:>@>B:>459AB2CNI85 A8;K), B.5. ?5@5=>AG8:8 A;01>3> 2708<>459AB28O 4>;6=K >1;040BL <0AA>9 ?>:>O, @02=>9 ?@8<5@=> mo »100M ( MB> ?@81;878B5;L=> 2 100 @07 1>;LH5 <0AAK ?@>B>=0) 11 .

070;>AL 1K, AB>;L @07=K5 2708<>459AB28O =52>7<>6=> >1J548=8BL 2 548=>5 ?>;5. 4=0:> !. 09=15@3, (. ;MH>C 8 . !0;0< ?>:070;8, GB> MB> =5 B0:. =8 ?@54?>;>68;8, GB> ;>:0;L=0O :0;81@>2>G=0O A8<<5B@8O B8?0 SU(2) x U(1) 548=>3> M;5:B@>A;01>3> 2708<>459AB28O 2 ?@>H;>< >:070;0AL A?>=B0==> =0@CH5==>9 ?@8 >ABK20=88 3>@OG59 A5;5==>9 ?>A;5 >;LH>3> 27@K20. !?>=B0==>5 =0@CH5=85 A8<<5B@88 SU(2) x U(1) ?@54?>;>68B5;L=> ?@>87>H;> 2 @57C;LB0B5 D07>2>3> ?5@5E>40 2 20:CC<5 ?@8 B53> =0@CH5=8O 8 AB0;> @0745;5=85 548=>3> 2708<>459AB28O =0 A;01>5 8 M;5:B@><03=8B=>5. 0B5<0B8G5A:8 MB> 2K@0605BAO 2 ?>O2;5=88 B@5E <0AA82=KE G0AB8F - ?5@5=>AG8:>2 A;01>3> 2708<>459AB28O W +,W -,Z o 8 >4=>9 157<0AA>2>9 - D>B>=0 g, ?5@5=>AOI53> M;5:B@><03=8B=>5 2708<>459AB285 (2A5 A> A?8=>< 1), 0 B0:65 >4=>9 15AA?8=>2>9 G0AB8FK %833A0 (?>A;54=OO =0720=0 ?> 8<5=8 1@8B0=A:>3> D878:0, >B:@K2H53> <5E0=87< =0@CH5=8O A8<<5B@88).

"5>@8O !. 09=15@30 8 . !0;0<0 ?@54A:070;0 A;54CNI85 <0AAK W± -G0AB8F - 82 M 8 Zo- G0AB8FK - 93 M. 1983 3. 2 5=52A:>< >1J548=5==>< 8=AB8BCB5 O45@=KE 8AA;54>20=89 B0:85 G0AB8FK 70D8:A8@>20=K 8 87<5@5=K 8E <0AAK: m W =(81 ±2) M, m Z =(94 ±2) M, GB> E>@>H> A>3;0AC5BAO A B5>@5B8G5A:8<8 ?@54A:070=8O<8. @><5 B>3>, =0 >A=>25 MB>9 B5>@88 1K;8 >1JOA=5=K B0: =07K205F5AAK A =59B@0;L=K<8 B>:0<8 (B8?0 @0AA5O=8O =59B@8=> =0 =C:;>=0E). 4=0:> G0AB8FK %833A0 4> A8E ?>@ =5 >1=0@C65=K, GB> 2K7K205B GC2AB2> =5:>B>@>9 =5C4>2;5B2>@5==>AB8. >7<>6=>, 8E <0AAK A;8H:>< 25;8:8 (B5>@8O ?>:0 =5 <>65B ?@54A:070BL 8E <0AAK), GB>1K 8E <>6=> 1K;> A>740BL 2 A>2@5<5==KE CA:>@8B5;OE G0AB8F.

5. !8<<5B@8O 8 70:>=K A>E@0=5=8O

!CI5AB2C5B 3;C1>:0O A2O7L <564C A8<<5B@859 8 70:>=0<8 A>E@0=5=8O. I5 .0<5;L 8 -.5B5@ ?>:070;8, GB> B@0=A;OF8>==0O A8<<5B@8O ?@82>48B 4;O 70<:=CB>9 A8AB5=C A>E@0=5=8O ?>;=>3> 8=C A>E@0=5=8O ?>;=>3> <><5=B0 :>;8G5AB20 42865=8O. >74=55 -.5B5@ CAB0=>28;0, GB> :064>B25G05B A2>9 70:>= A>E@0=5=8O. "0:, 87 8=20@80=B=>AB8 C@02=5=89 <5E0=8:8 >B=>A8B5;L=> A4283>2 2> 2@5<5=8 2KB5:05B 70:>= A>E@0=5=8O M=5@388, 87 :0;81@>2>G=>9 8=20@80=B=>AB8 C@02=5=89 M;5:B@>48=0<8:8 - 70:>= A>E@0=5=8O M;5:B@8G5A:>3> 70@O40. !D>@20=K 70:>=K A>E@0=5=8O 8 4;O @O40 4@C38E D878G5A:8E 25;8G8=. 5:>B>@K5 87 =8E 2K?>;=ONBAO 4;O 2A5E 2708<>459AB289, 4@C385 - B>;L:> 4;O >?@545;5==>3> 2840 2708<>459AB289. ?5@2K< <>6=> >B=5AB8 70:>= A>E@0=5=8O 10@8>==>3> 70@O40 (?@8<5=8<>ABL :>B>@>3> :> 2A5< 2708<>459AB28O<, 2?@>G5<, ?>425@305BAO A><=5=8N). > 2B>@K< >B=>AOBAO, =0?@8<5@, 70:>=K A>E@0=5=8O AB@0==>AB8, 87>A?8=0, :>B>@K5 AB@>3> 2K?>;=ONBAO 4;O ?@>F5AA>2 A A8;L=K< 2708<>459AB285<, => =0@CH0NBAO 4;O ?@>F5AA>2 A> A;01K< 2708<>459AB285<. KH5 <8=0;8 >1 8=25@A8>==>9 A8<<5B@88. 0:>9 65 70:>= A>E@0=5=8O >B25G05B MB>9 A8<<5B@88? A;8 ?>B@51>20BL, GB>1K 2>;=>2K5 DC=:F88 42CE A>AB>O=89 Y(x, y, z, t) 8 Y(-x, -y, -z, t) , >B;8G0NI85AO 8=25@A8>==K< ?@5>1@07>20=85< I, 1K;8 D878G5A:8 @02=>F5==K, B> Y 8 IY <>3CB >B;8G0BLAO B>;L:> D07>2K< <=>68B5;5<:

I Y=exp(i a) Y .

BAN40, 0=0;>38G=> 2K2>4C (4), ?>;CG05<

I Y= ±Y ,

B.5. 2>;=>20O DC=:F8O 4>;6=0 1KBL ;81> G5B=>9, ;81> =5G5B=>9. '5B=>ABL A>AB>O=8O A>E@0=O5BAO A B5G5=85< 2@5<5=8 12 . =0 =5 O2;O5BAO D>@<0;L=>9 25;8G8=>9 (:0: <>65B ?>:070BLAO =0 ?5@2K9 273;O4), B0: :0: ?@>O2;O5BAO, =0?@8<5@, 2 70?@5B5 ?@>F5AA>2 A 87<5=5=85< G5B=>AB8, 5A;8 2708<>459AB28O, >B25BAB25==K5 70 MB8 ?@>F5AAK, 8=20@80=B=K >B=>A8B5;L=> 8=25@A88. '5B=>ABL A>E@0=O5BAO 4;O A8;L=KE 8 M;5:B@><03=8B=KE 2708<>459AB289, =>, :0: C65 >B<5G0;>AL 2KH5, 8=25@A8>==0O 8=20@80=B=>ABL, 0 A;54>20B5;L=>, 8 70:>= A>E@0=5=8O G5B=>AB8 >BACBAB2CNB 4;O A;01KE 2708<>459AB289. K40NI89AO @>AA89A:89 D878:-B5>@5B8: 52 0=40C ?@8<5=8; >?5@0F8N :><18=8@>20==>9 8=25@A88 (8=25@A8O ?;NA 70<5=0 G0AB8F =0 0=B8G0AB8FK) 4;O D>@2:8 70:>=0 A>E@0=5=8O :><18=8@>20==>9 G5B=>AB8. -B>B 70:>= 2K?>;=O5BAO 4;O 1>;55 H8@>:>3> :@C30 O2;5=89, >4=0:>, .@>=8= 8 .$8BG A A>B@C4=8:0<8 (1964) CAB0=>28;8, GB> 8 MB>B 70:>= A>E@0=5=8O =0@CH05BAO ?@8 @54:8E @0A?040E K-<57>=>2. <5AB5 A B5< =5 ?>425@305BAO A><=5=8N B0: =07K205<0O CPT-B5>@5<0, B.5. 8=20@80=B=>ABL 2708<>459AB289 ?@8 :><18=8@>20==>9 8=25@A88 8 >1@0I5=88 2@5<5=8.

6. !8<<5B@8O 8 ?5@A?5:B82K >1J548=5=8O DC=40<5=B0;L=KE 2708<>459AB289

KH5 C65 3>2>@8;>AL > @>;8 A8<<5B@88 2 A>740=88 548=>9 B5>@88 M;5:B@>A;01KE 2708<>459AB289. (.;MH>C 8 %.6>@468 (1974) A45;0;8 ?>?KB:C >1J548=5=8O M;5:B@><03=8B=KE, A;01KE 8 A8;L=KE 2708<>459AB289 (B0: =07K205<>5 5;8:>5 >1J548=5=85). :0G5AB25 3@C??K A8<<5B@88 >=8 @0AA<>B@5;8 =08<5=LHCN ?@>ABCN 3@C??C SU(3), 2:;NG0NICN 2 A51O :0: SU(3), B0: 8 SU(2) x U(1). :0G5AB25 ?OB8 DC=40<5=B0;L=KE A>AB>O=89 2 MB>9 B5>@88 2KABC?0NB B@8 :20@:0 >4=>3> 0@><0B0, => @07=>3> F25B0 8 420 ;5?B>=0 (2A5 >4=>3> ?>:>;5=8O). MB>< ?>4E>45 =5B ?@8=F8?80;L=>3> @07;8G8O <564C :20@:0<8 8 ;5?B>=0<8 (?@54?>;0305BAO, GB> @07;8G85 A2O70=> A> A?>=B0==K< =0@CH5=85< A8<<5B@88). B<5B8<, GB> =0@CH5=85 A8<<5B@88 8 @0745;5=85 A8;L=KE 8 M;5:B@>A;01KE 2708<>459AB289 ?@8 >ABK20=88 3>@OG59 A5;5==>9 4>;6=K 1K;8 ?@>87>9B8, ?> >F5=:0<, ?@8 B5@8O (8 55 @07=>284=>AB8) ?>72>;O5B >1JOA=8BL =5:>B>@K5 M:A?5@8<5=B0;L=K5 40==K5, => 55 >A=>2=>9 @57C;LB0B - =5AB018;L=>ABL ?@>B>=0 - 4> A8E ?>@ =5 ?>4B25@645=. =B5@5A=K< 8 206=K< @57C;LB0B>< B5>@88 O2;O5BAO =52K?>;=5=85 70:>=0 A>E@0=5=8O 10@8>==>3> 70@O40. -B8< <>6=> >1JOA=8BL ?@5>1;040=85 25I5AB20 =04 0=B825I5AB2>< 2 >1>7@8<>9 G0AB8 A5;5==>9.

"0:8< >1@07><, @0728B85 D878:8 G0AB8F 2KA>:8E M=5@389 ?@82>48B : 2K2>4C > B><, GB> A @>AB>< M=5@388 2708<>459AB2CNI8E G0AB8F A8<<5B@8O DC=40<5=B0;L=KE 2708<>459AB289 ?>2KH05BAO, GB> ?@82>48B : 8E >1J548=5=8N, >4=0:> M=5@388, =5>1E>483> >1J548=5=8O, G@572KG09=> 25;8:8 (10 14-10 15M). BAN40 @>48;0AL 38?>B570 > B><, GB> 2 ?5@2K5 <3=>25=8O ?>A;5 >;LH>3> 27@K20 70:>=K ?@8@>4K >1;040;8 >G5=L 2KA>:>9 AB5?5=LN 48=0<8G5A:>9 A8<<5B@88: 2>7<>6=>, B@8 (0 <>65B 1KBL, 8 2A5 G5BK@5) 2840 DC=40<5=B0;L=KE 2708<>459AB289 1K;8 >1J548=5=K 2 >4=> 548=>5 2708<>459AB285. <5==> =0 B0:>5 >1J548=5=85 =0F5;5=K B5>@88 AC?5@A8<<5B@88 8 AC?5@3@028B0F88. !C?5@A8<<5B@8O 1K;0 2?5@2K5 22545=0 @>AA89A:8<8 CG5=K<8 ...>;LD0=4>< 8 ..8EB<0=><, 0 70B5< - 6.5AA>< 8 .C<8=>.

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

458 AC?5@A8<<5B@88 8=B5=A82=> @072820NBAO. ! =8<8 A2O70=K, 2 G0AB=>AB8, =04564K =0 ?>;=>5 A>:@0I5=85 @0AE>48<>AB59 2 :20=B>2>9 B5>@88 ?>;O, O2;ONI8EAO :0<=5< ?@5B:=>25=8O >1KG=KE B5>@89. A;8 ?@5>1@07>20=8O< AC?5@A8<<5B@88 ?@840BL ;>:0;L=K9 E0@0:B5@, B> ?>;CG8BAO @0AH8@5=85 >1I59 B5>@88 >B=>A8B5;L=>AB8, =07K205<>5 AC?5@3@028B0F859. !C?5@3@028B0F8O AB028B F5;LN >1J548=5=85 2A5E G5BK@5E DC=40<5=B0;L=KE 2708<>459AB289. 4=0:> B5>@88 AC?5@A8<<5B@88 8 AC?5@3@028B0F88 5I5 40;5:8 >B A2>53> 7025@H5=8O.

0:;NG5=85

@8=F8?K A8<<5B@88 2=>AOB ACI5AB25==CN AB5?5=L 45B5@<8=87<0, C?>@O4>G5==>AB8 2 25@>OB=>AB=>5 ?>2545=85 :20=B>2KE A8AB5<. =8 :0: 1K ?@>B82>459AB2CNB E0>AC <8:@><8@0, =0 =8E <>6=> >?8@0BLAO ?@8 8AA;54>20=88 8 B5>@5B8G5A:>< >?8A0=88 ?>A;54=53>.

@8=F8?K A8<<5B@88 =5 B>;L:> ?><>30NB :;0AA8D8:0F88 :20=B>2KE A>AB>O=89, CAB0=>2;5=8N 70:>=>2 A>E@0=5=8O 8 ?@028; 70?@5B0, => 8 >1;040NB M2@8AB8G5A:>9 F5==>ABLN. ! 8E ?><>ILN A>740NBAO =>2K5 B5>@88, A >4=>9 AB>@>=K, >?8AK20NI85 O2;5=8O <8:@><8@0, 0 A 4@C3>9 - 8<5NI85 206=K5 A;54AB28O 4;O :>A<>;>388. 0728B85 :20=B>2>9 B5>@88 ?>;O 8 G0AB8F, :0: 284=> 87 87;>65==>3>, ?@>8AE>48B ?> ;8=88 ?>2KH5=8O A8<<5B@88, =0 :>B>@CN >?8@05BAO B5>@8O. @C??0 A8<<5B@88 2 B5>@88 M;5:B@><03=8B=>3> ?>;O U(1) O2;O5BAO ?>43@C??>9 3@C??K A8<<5B@88 M;5:B@>A;01KE 2708<>459AB289 SU(2) x U(1), :>B>@0O 2 A2>N >G5@54L O2;O5BAO ?>43@C??>9 3@C??K A8<<5B@88 5;8:>3> >1J548=5=8O SU(3) x SU(2) x U(1) 8 B.4. >6=> ?@825AB8 A;54CNICN F5?>G:C ?>43@C??>2KE A2O759:

E8 x E8?E 6? SU(5) ?SU(3) x SU(2) x U(1) ?SU(2) x U(1) ?U(1) .

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

#4828B5;L=>9 G5@B>9 <=>38E 284>2 A8<<5B@88 O2;O5BAO 8E 25AL<0 01AB@0:B=>-<0B5<0B8G5A:89 E0@0:B5@. E >?8A0=85 8 8A?>;L7>20=85 B@51C5B 7=0=8O 2KAH8E @0745;>2 <0B5<0B8:8 8, ?@5645 2A53>, <5B>4>2 B5>@88 ?@54AB02;5=89 =5?@5@K2=KE 3@C??. I5 ..83=5@ >B<5G0; =5?>AB868ABL <0B5<0B8:8 ?@8 >?8A0=88 O2;5=89 ?@8@>4K [5]. 0<5B8<, GB> MB> B5< 1>;55 >B=>A8BAO : B5>@88 3@C?? A8<<5B@88. >A=>25 A2>59 <8@ CAB@>5= ?> 70:>=0< <0B5<0B8:8, A8<<5B@88, :@0A>BK, => ?@8G8=K MB>3> =0< =58725AB=K.

:@0B:>9 AB0BL5 =52>7<>6=> @0AA:070BL > 2A5E 206=KE ?@8<5=5=8OE B5>@88 A8<<5B@88. K =5 A<>3;8 >AB0=>28BLAO, =0?@8<5@, =0 A8<<5B@88 >B=>A8B5;L=> >1@0I5=8O 2@5<5=8, :;0AA8D8:0F88 M;5:B@>==KE 8 :>;510B5;L=KE A>AB>O=89 <>;5:C; 8 :@8AB0;;>2, >?8A0=88 D07>2KE ?5@5E>4>2 2 :@8AB0;;0E [7-13].

!?8A>: ;8B5@0BC@K

1. !<.: 59;L . !8<<5B@8O. ., 1968.

2. !<.: (C1=8:>2 .., >?F8: .. !8<<5B@8O 2 =0C:5 8 8A:CAAB25. ., 1972.

3. !<.: #@<0=F52 ... !8<<5B@8O ?@8@>4K 8 ?@8@>40 A8<<5B@88. ., 1974.

4. !<.: (52@8= .. 1 MAB5B8G=>AB8 <0B5<0B8:8 // 72. #@#. 1995. 4.

5. !<.: 83=5@ .. -BN4K > A8<<5B@88. ., 1971.

6. !<.: >- 8 <0:@><8@5. ., 1978.

7. !<.: %59=5 . "5>@8O 3@C?? 2 :20=B>2>9 <5E0=8:5. ., 1963.

8. !<.: 5B@0H5=L .., "@8D>=>2 .. @8<5=5=85 B5>@88 3@C?? 2 :20=B>2>9 <5E0=8:5. ., 1967.

9. !<.: 0=40C .., 8DH8F .. 20=B>20O <5E0=8:0. ., 1989. ;.12.

10. !<.: 59;L . "5>@8O 3@C?? 8 :20=B>20O <5E0=8:0. ., 1986.

11. !<.: -;;8>B 6., >15@ . !8<<5B@8O 2 D878:5: 2 B. ., 1983.

12. !<.: N10@A:89 ./. "5>@8O 3@C?? 8 D878:0. ., 1986.

13. !<.: 7N<>2 ..., !K@>2 .. $07>2K5 ?5@5E>4K 8 A8<<5B@8O :@8AB0;;>2. ., 1984.

@8<5G0=8O

1 ?@8@>45 ACI5AB2CNB G5BK@5 8725AB=KE 2 =0AB>OI55 2@5459AB28O: 3@028B0F8>==>5, M;5:B@><03=8B=>5, A8;L=>5 8 A;01>5. [image]

2 ">G5G=>9 3@C??>9 A8<<5B@88 =07K20NB 3@C??C, 2:;NG0NICN B>;L:> B0:85 >?5@0F88 A8<<5B@88, :>B>@K5 >AB02;ONB =0 <5AB5 E>BO 1K >4=C B>G:C ?@>AB@0=AB20. [image]

3 -B> >7=0G05B, GB> ?@5>1@07>20==K5 :>>@48=0BK 2K@060NBAO G5@57 ;8=59=K5 :><18=0F88 8AE>4=KE :>>@48=0B. [image]

4 #@02=5=8O :;0AA8G5A:>9 <5E0=8:8 B0:65 >1;040NB ?5@5AB0=>2>G=>9 A8<<5B@859, => B0< >=0 =5 2;5G5B 70 A>1>9 :0:8E-;81> 206=KE A;54AB289. [image]

5 04@>=0< >B=>AOB G0AB8FK, ?>425@65==K5 A8;L=K< 2708<>459AB28O<. 4@>=K <>6=> @0745;8BL =0 10@8>=K, 8<5NI85 ?>;CF5;K9 A?8= (?@>B>=, =59B@>=, G0AB8FK a,L,D,X,W 8 4@.), 8 <57>=K, 8<5NI85 F5;K9 A?8= ( p,K,r,w 8 4@.). [image]

6 @C??0 SU(2) 5ABL 3@C??0 A?5F80;L=KE :204@0B=KE C=8B0@=KE <0B@8F. [image]

7 <55BAO 2 284C C=8B0@=>ABL 8 C=8<>4C;O@=>ABL <0B@8F. [image]

8 BACBAB285 A5:AB5B>2 (G8A;> G0AB8F @02=> 6) 8<55B A2>5 >1JOA=5=85 ?@8 CG5B5 F25B>2KE 70@O4>2 :20@:>2. [image]

9 =45:A f C:07K205B =0 B>, GB> 3@C??0 SU(3) f 2 40==>< A;CG05 ?@8<5=O5BAO 4;O >?8A0=8O A8<<5B@88 0@><0B>2 (flavour) u,d,s . [image]

10 !;54C5B >B<5B8BL, GB> 2708<>459AB285 <564C 04@>=0<8, :>B>@>5 @0=55 =07K20;>AL A8;L=K<, =0 A0<>< 45;5 O2;O5BAO >AB0B>G=K< MDD5:B>< >B 2708<>459AB28O :20@:>2, A>AB02;ONI8E 04@>=K. [image]

11 1 M=10 3 M= 10 9 M. [image]

12 :;0AA8G5A:>9 D878:5 B0:>9 D878G5A:>9 25;8G8=K =5B.

!?8A>: ;8B5@0BC@K